Các khái niệm cơ bản Không gian lũy đẳng

Định nghĩa 2.1. Cho V là nửa nhóm lũy đẳng và K là nửa vành lũy đẳng. Ta định nghĩa phép toán nhân k x,  k x thỏa các tính chất sau

(k1 k2)x = k1 (k2 x) ( )2.1 (k1 Åk2)x = (k1 x) (Å k2 x) ( )2.2 ( ) ( ) ( ) k  x Åy = k x Å k y ( )2.3 x = x 1 ( )2.4

với mọi x y, ÎV , k k k, ,1 2 ÎK . Khi đó nửa nhóm V được gọi là nửa môđun lũy đẳng trái trên nửa vành K hay để đơn giản ta gọi là nửa môđun.

Định nghĩa 2.2. Cho V là nửa môđun lũy đẳng trên K. Phần tử 0V ÎV là phần tử không của V nếu k 0V = 0V và 0V Å =x x với mọi k Î K, x ÎV .

Nếu phần tử không của nửa môđun V tồn tại, ta kí hiệu là 0.

Thông thường, nửa môđun con của nửa môđun V là nửa nhóm con của V bất biến qua phép nhân với các hệ tử trong K.

Kí hiệu Lk là phép vị tự trong V hay Lk : x  k x với k Î K, x ÎV . Rõ ràng, ánh xạ k  Lk là một đồng cấu từ K vào Hom(V V, ) trong đó Hom(V V, ) là nửa vành gồm tất cả các tự đồng cấu của nửa môđun V .

2.1.2. Nửa môđun đầy đủ và nửa môđun chuẩn tắc

Định nghĩa 2.3. Nửa môđun V trên nửa vành lũy đẳng K là a -đầy đủ nếu V là nửa nhóm lũy đẳng a -đầy đủ, tất cả các phép vị tự Lk là a -đồng cấu, đồng cấu

k

k  L được mở rộng duy nhất tới đồng cấu nửa nhóm K  Hom(V V, ) xác định phép toán nhân K V´ V đồng thời các đẳng thức sau đúng

(ÅQ)x = Å(Q x) ( )2.5 hay (sup ) sup( ) k Q Q x k x Î =   (2.5 ')

với mọi x ÎV , Q ÌK. Khái niệm nửa môđun b-đầy đủ trên K được định nghĩa tương tự (với lưu ý rằng lúc này Q ÌKb).

Nhận xét 1.1. Nếu Q = Æ thì ( )4.5 trở thành

K x = V

0  0 ( )2.6

Định nghĩa 2.4. Nửa môđun V trên nửa vành lũy đẳng dàn b -đầy đủ K là chuẩn tắc nếu V là b-đầy đủ (đặc biệt a -đầy đủ) và với mọi x ÎV , x ¹ I = supV , với mọi Æ ¹Q Ì K ta có các đẳng thức (ÙQ)x = Ù(Q x) ( )2.7 hay (inf ) inf( ) k Q Q x k x Î =   (2.7 ') Lưu ý rằng Q bị chặn dưới vì nửa vành b-đầy đủ K có phần tử 0K

Định nghĩa 2.5. Nửa môđun V trên nửa vành lũy đẳng K được gọi là a -chính quy (tương ứng b -chính quy) nếu m : K V´ V là a -đồng cấu tách (tương ứng b -

đồng cấu tách) các nửa nhóm lũy đẳng.

Sử dụng Mệnh đề 1.5 và mục 1.4 ta có khẳng định sau

Mệnh đề 2.1. Cho V là nửa môđun a -chính quy (tương ứng b -chính quy) trên nửa vành b -chính quy K và m : K V´ V là tích tương ứng. Khi đó, m có mở rộng duy nhất m : K V ´ V (tương ứng m :Kb´Vb Vb) xác định trên V (tương ứng trên Vb) cấu trúc của nửa môđun a -đầy đủ (tương ứng b-đầy đủ) trên K và



b

K . Nếu nửa vành K là a -chính quy, tức K là nửa vành, thì V cũng là nửa môđun

a -đầy đủ trên K .

Ta kí hiệu m( )k x, = k x.

Định nghĩa 2.6. Nếu V là nửa môđun a -chính quy (tương ứng b-chính quy) trên nửa vành b -chính quy K thì ta gọi nửa môđun V (tương ứng Vb) trên Kb là a -

mở rộng (tương ứng b -mở rộng) của nửa môđun V .

Ta nhấn mạnh rằng, quá trình làm đầy nửa môđun V cần thay thế nửa vành K

bởi mở rộng Kb.

2.1.3. Không gian lũy đẳng

Để thu được những kết quả quan trọng về các nửa môđun cũng như các ánh xạ và các phiếm hàm xác định trên nửa môđun, ta cần xét trường hợp nửa vành K là tựa trường hay nửa trường.

Định nghĩa 2.7. Ta gọi nửa môđun V trên tựa trường hay nửa trường K là một không gian lũy đẳng.

Khái niệm này tương tự như khái niệm không gian vectơ tuyến tính trên một trường.

Định nghĩa 2.8. Ta nói nửa môđun V trên tựa trường K là a -không gian lũy đẳng (

b -không gian lũy đẳng) nếu V là a -chính quy (tương ứng b-chính quy) và V

(tương ứng Vb) là nửa môđun chuẩn tắc trên nửa trường b-đầy đủ Kb, do đó đẳng thức ( )2.7 trong Định nghĩa 2.4 đúng với mọi x ¹ I = supV .

Tựa trường và nửa trường là ví dụ về không gian lũy đẳng “một chiều” trên chính nó.

Các phát biểu dưới đây là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 3.7 và 3.13, Định nghĩa và Nhận xét 1.4

Mệnh đề 2.2. Nếu K là tựa trường thì Kb là b-không gian lũy đẳng trên K và 

b

K . Nửa vành K cũng là nửa môđun và là a -không gian lũy đẳng trên K và 

b

K đồng thời là nửa môđun a -đầy đủ trên K.

2.2. Ánh xạ và phiếm hàm tuyến tính

Giả sử V và W là các nửa môđun lũy đẳng trên nửa vành lũy đẳng K và ánh xạ :

P V W

Định nghĩa 2.9. Ánh xạ p V: W được gọi là cộng tính nếu ( ) ( ) ( )

p x Åy = p x Å p y ( )2.8

với mọi x y, ÎV . Ánh xạ p V: W được gọi là thuần nhất nếu ( ) ( )

p k x = k p x ( )2.9

với mọi x ÎV , k ÎV . Ánh xạ p V: W là tuyến tính nếu p có tính cộng tính và thuần nhất.

Định nghĩa 2.10. Giả sử V và W là các nửa môđun lũy đẳng a -chính quy (tương

ứng b-chính quy) trên nửa vành lũy đẳng K . Ánh xạ tuyến tính p V: W được gọi là a -tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính) nếu p là a -đồng cấu (tương ứng

Rõ ràng, khái niệm ánh xạ a -tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính) cho ta một mô hình đại số của ánh xạ tuyến tính liên tục và nửa liên tục.

Mệnh đề 2.3. Cho V và W là các nửa môđun a -chính quy (tương ứng b-chính quy) trên nửa vành lũy đẳng b -chính quy K và ánh xạ p V: W là a - tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính). Khi đó, p được mở rộng duy nhất thành ánh xạ

 

:

p V W

 (tương ứng p V: b Wb) là a -tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính) trên Kb.

Chứng minh

Ta chứng minh bằng các tính toán trực tiếp. Từ định nghĩa của a -đồng cấu

(tương ứng b -đồng cấu) các nửa nhóm lũy đẳng thì mở rộng p xác định duy nhất và cộng tính. Nếu k Î Kb thì k = ÅQ với Q Ì K . Rõ ràng,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

p k x = p ÅQ x = Åp Q x = ÅQ p x = k p x = k p x

       

nếu x ÎV . Nếu x ÎV thì x = ÅX với X ÌV, lập luận một cách tương tự ta được p k( x)= k p x( ).

Mệnh đề được chứng minh.

Định nghĩa 2.11. Phiếm hàm trên nửa môđun V trên nửa vánh lũy đẳng K là một ánh xạ V  K hay V  K. Phiếm hàm được gọi là tuyến tính nếu ánh xạ này tuyến tính. Một phiếm hàm tuyến tính được gọi là a -tuyến tính(tương ứng b-tuyến tính) nếu phiếm hàm này là a -đồng cấu (tương ứng b -đồng cấu).

Ta giả thiết rằng phiếm hàm a -tuyến tính (tương ứng b -tuyến tính) nhận giá trị trong K (tương ứng Kb) nếu mở rộng này có cấu trúc tự nhiên của nửa môđun trên

Nhận xét 2.2. Theo mệnh đề 1.4, phiếm hàm b-tuyến tính f trên V là a -tuyến tính khi và chỉ khi Up(f X( ))= Up(f V( )) với mọi tập con không bị chặn trên

X ÌV . Theo định nghĩa, f có mở rộng f V: b  Kb. Nếu V có phần tử

supV

I = thì f xác định trên V và a -tuyến tính. Ngược lại, f có thể mở rộng lên

 b { }

V =V È I . Mà I = supX với mọi tập không bị chặn trên X ÌV nên ( )

supf X không phụ thuộc cách chọn X . Do vậy, ta có thể đặt

( ) sup ( ) ( )

f I = f X = Åf X

 .

Chẳng hạn, xét B X( ,{) gồm tất cả các hàm xác định tập X bất kì có nhiều hơn một phần tử. B X( ,{) là b-không gian lũy đẳng trên nửa trường {(max,+). Phiếm hàm tuyến tính da :j  j( )a là b -tuyến tính nhưng không a -tuyến tính. Tuy nhiên phiếm hàm b-tuyến tính trên B X( ,{) luôn có một mở rộng a -tuyến tính xác định trên B X( ),{ .

2.3. Nửa môđun và không gian lũy đẳng liên kết với dàn vectơ

Các ví dụ về nửa môđun và không gian lũy đẳng quan trọng nhất của Giải tích lũy đẳng là các nửa môđun con của các dàn vectơ tôpô hay đối ngẫu của các nửa môđun con này theo nghĩa chúng có các phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn các điều kiên khác như phiếm hàm a -tuyến tính chẳng hạn.

Nhắc lại rằng, một không gian vectơ V trên trường số thực { được sắp thứ tự

nếu V được trang bị với thứ tự bộ phận £ sao cho tất cả các phép tịnh tiến

x  x +y và phép vị tự x lx bảo toàn thứ tự với l > 0 và x y, ÎV . Cùng các phép toán x Ú =y x Å =y sup{x y, } và x Ù =y inf{x y, }, V được gọi là một

dàn vectơ (trong trường hợp này, nhóm cộng của V là dàn có thứ tự). Một dàn vectơ tôpô là không gian vectơ tôpô Hausdorff V sao cho V là dàn vectơ, các phép toán

,

chuẩn tắc với tôpô trên V . Đặc biệt, dàn định chuẩn (tương ứng dàn Banach) là không gian định chuẩn (tương ứng không gian Banach) có cấu trúc của dàn vectơ sao cho các phép toán Ú = Å và Ù liên tục.

Cho V là dàn vectơ tôpô trên {, K là nửa nhóm con của nhóm cộng trong V

với tổng thông thường và M là tập con của V bất biến qua các phép tịnh tiến

x  x +k trong đó k Î K. Giả sử thêm rằng K và M là các nửa nhóm con lũy đẳng trong V với phép toán Ú = Å, các phép nhúng K V và M V là các b -

đồng cấu.

Rõ ràng, V là nửa trường với các phép toán lũy đẳng Å = Ú = sup,  = + và K là nửa trường con của V . Ở đây, tích K´M  M được định nghĩa bởi (k x, ) k x = +k x.

Mệnh đề 2.4

1. Các nửa trường V và K là đóng nguyên (do đó là các tựa trường) với các phép toán lũy đẳng Å = sup và  = +, trường hợp này 1 = 0.

2. M là b -không gian lũy đẳng trên tựa trường K , tích K ´M  M được định nghĩa bởi (k x, )  k x = +k x.. Đặc biệt dàn V là b -không gian lũy đẳng và M là b-không gian con lũy đẳng của V (cho dùM không cần phải là không gian con của V theo nghĩa thông thường).

3. Tích K´M  M là hạn chế của tích trong nửa trường b-đầy đủ Vb tới

K´M .

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh khẳng định đầu tiên. Các khẳng định còn lại có thể kiểm tra trực tiếp nhờ tính toán.

Bây giờ, ta chứng minh nửa trường K đóng nguyên. Với x Î K thì x có phần tử nghịch đảo x-1 = -x . Cho x b, Î K và xn = nx £b với n = 1,2, 3,... .Ta có

1 . x b n £ do đó x 1.b 1.b n n æ ö÷ ç

Åççè ÷÷÷ø= . Do tính liên tục của tích thông thường và tổng lũy đẳng nên 1 1 lim . lim . n n x x x b x b n n ¥ ¥ æ ö÷ æ æ öö÷÷ ç ç ç Å = Å = Å çç ÷÷÷= çç Åçç ÷÷÷÷÷÷= = è ø è è øø 1 0 0 1,

suy ra x Å =1 1 hay x £1. Từ đó K đóng nguyên. Chứng minh tương tự ta được

V đóng nguyên.

Mệnh đề được chứng minh.

Định nghĩa 2.12. Ta gọi b -không gian lũy đẳng M trong mệnh đề 2.4 là một không gian dạng (V K, ).

Các ví dụ

Ví dụ 2.1. Giả sử K là nửa trường b-đầy đủ có phần tử không và K ¹ { }0,1 . Nửa nhóm Map(X K,) là nửa môđun lũy đẳng trên K (với phép nhân hàm với phần tử của K ) nhưng không là môđun chuẩn tắc nếu X ³2.

Các nửa môđun lũy đẳng USC X( ,{max) và LSC X( ,{max) không chuẩn tắc nếu

2

X ³ nhưng đều là các nửa môđun a -đầy đủ.

Ví dụ 2.2. Các nửa nhóm USC X( ), LSC X( ), Lp( )X và Conv(X,{) là các a -

không gian lũy đẳng trên nửa trường (và tựa trường) K = {(max,+) với phép nhân các hàm với các phần tử của K . Mở rộng chuẩn tắc của các nửa nhóm lũy đẳng này là các a -không gian lũy đẳng a -đầy đủ trên nửa trường b-đầy đủ {max và các nửa môđun a -đầy đủ trên nửa vành {max.

Ví dụ 2.3. Nửa vành {max là a -không gian lũy đẳng trên nửa trường {max. Tương tự, Map(X,{) là a -không gian lũy đẳng trên {max. Một cách rất tự nhiên, ta nói

( )



Map X,{ là không gian n chiều nếu X có n phần tử.

Ví dụ 2.4. Các không gian dạng (V K, )

2.4.1. C X( ) là không gian dạng (V K, ) với K là nhóm con của { và ( )

M =V =C X .

2.4.2. Với V =C X( ), K là nhóm con của  và M là nhóm con các hàm có giá trị nguyên thì M là không gian dạng (V K, ).

2.4.3. M là không gian dạng (V K, ) với 2

Chương 3

CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN 3.1. Định lí cơ bản về phiếm hàm

Giả sử V là b -không gian lũy đẳng trên tựa trường K .

Định nghĩa 3.1. Cho x ÎV. Kí hiệu x* là phiếm hàm định bởi

 ( ) { } : inf y k x x V K y x y k K y k x * * £  = Ù Î £ =    ( )3.1

Ta gọi x* là x -phiếm hàm trên V .

Nếu trong V tồn tại phần tử lớn nhất thì ta kí hiệu phần tử này là IV. Nhắc lại rằng I =V supV = infÆ. Tương tự, I =K supK . Lưu ý rằng IV* ( )y º 0K với mọi

y VÎ (ngoại trừ trường hợp y = IV ); 0V* ( )y = IK với y ¹ 0V và 0V* ( )0V = 0K.

Định lí 3.1. Cho V là b-không gian lũy đẳng trên tựa trường K. Với mọi x ÎV ta có x -phiếm hàm x* : y  x y*( ) là phiếm hàm a -tuyến tính trên V .

Chứng minh

Thay K và V bởi các b -mở rộng tương ứng và sử dụng Định nghĩa 2.8 và Mệnh đề 2.1 ta có thể giả sử V là b-đầy đủ và K là nửa trường b -đầy đủ. Thế thì

 { }V

V =V È I và K = K È I{ }K . Với x = IV ta có thể kiểm tra phát biểu của định lí một cách trực tiếp. Ta cần xét trường hợp x < IV . Theo Định nghĩa 2.4 và Định nghĩa 2.8 thì V chuẩn tắc nên y £x y*( )*x nếu

( ) { }

Gọi Y là tập con bất kì của nửa môđun V . Từ định nghĩa của ánh xạ ( )

y  x y* dễ thấy x* bảo toàn thứ tự. Do đó

( ) sup{ ( ) } ( ) x Y* x y y* Y x* Y Å = Î £ Å . Nếu K y( ) {= k ÎK y £k x}= Æ thì ( ) K x* ÅY = I , Åx Y*( )= sup{x y y*( ) ÎY}= IK

với I =K supK = supK. Vậy nên trong trường hợp này x*(ÅY)= Åx Y*( ). Mặt khác

( )

(Åx Y* )x ³ x y*( )x ³y

với mọi y ÎY nên (Åx Y*( ))x ³ ÅY dẫn đến Åx Y*( )³x*(ÅY). Ta đã chứng minh được Åx Y*( )£ x*(ÅY) nên

( ) ( )

x* ÅY = Åx Y* ( )3.2

hay phiếm hàm y  x y*( ) là a -đồng cấu.

Bây giờ ta sẽ chứng minh phiếm hàm này thuần nhất, nghĩa là ( ) ( )

k x y* = x k* y ( )3.3 với mọi k ÎK và y VÎ . Giả sử p là phần tử khả nghịch của K và y là phần tử bất kì của V . Vì phép nhân với p hay phép vị tự là một tự đồng cấu của K nên

( ) { } { } ( )

pK y = p  k Î K y £k x = k Î K p y £ k x = K p y

Do đó K p( y)= Æ nếu K y( ) = Æ dẫn tới x y*( ) = x*(py)= IK và ( ) ( )

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )

px y* = p ÙK y = Ù p K y = ÙK py = x* p y

Từ đó tính thuần nhất ( )3.3 được chứng minh với mọi phần tử khả nghịch

p = Îk K . Trường hợp k = 0 thì 0x y*( ) = =0 x*( )0 = x*(0y). Vậy phiếm hàm x* thuần nhất.

Định lí được chứng minh.

Mệnh đề 3.1. Cho V là nửa môđun chuẩn tắc trên nửa vành b-đầy đủ K (chẳng hạn

V là b-không gian b -đầy đủ). Gọi f là phiếm hàm a -tuyến tính trên V sao cho

f có giá trị 1 và f( )IV > 1 với I =V supV . Khi đó tồn tại duy nhất x -phiếm hàm ( )

y  x y* sao cho x y*( )³ f y( ) với mọi y VÎ và x y*( ) = f y( ) nếu f y( ) khả nghịch trong K trong đó x = Å{y ÎV f y( )£1}