- GV nêu: * Chia hình trịn thành 6 phần bằng nhau, tơ màu vào 5 phần Ta nói đã tơ màu vào năm phần sáu hình trịn.
O 1 2 b) Các phân số 1 3 7, ,
5.4. Thực nghiệ mB
Bài toán 5: Nhà An và trường học của An đều nằm trên quốc lộ 1A. Trên đoạn
đường từ nhà đến trường của An, có nhà bạn Bình ở 3
4 đoạn đường, nhà bạn Minh ở 2
5 đoạn đường và nhà bạn Lan ở 4
5 đoạn đường.
a) Hỏi trên đường từ nhà đến trường, An sẽ nhìn thấy nhà bạn nào đầu tiên, kế tiếp và sau cùng? Vì sao?
b) Hoa là bạn thân của An. Nhà của Hoa ở giữa đoạn đường nhà của bạn Minh và bạn Lan. Hãy tìm 5 phân số để dự đốn vị trí nhà của Hoa?
5.4.1.1. Mục tiêu của bài toán 5
Câu a của bài toán 5
HS giải quyết kiểu nhiệm vụ một cách ngầm ẩn: “Sắp xếp dãy các phân số theo
thứ tự tăng dần”. Đặc trưng của các phân số được cho có dạng a
b với a≠1. Một số kiến thức về phân số trong SGK tốn 4: cách hình thành phân số, phân số bằng nhau, các tính chất của phân số, qui đồng mẫu số, so sánh các phân số,… có thể giúp HS khám phá ra kiến thức ngầm ẩn trong bài tốn.
Bên cạnh đó, câu a của bài tốn 5 gắn liền với một tình huống thực tiễn. Nó tạo điều kiện cho HS khám phá ra tri thức thông qua hoạt động giải tốn. Nó cũng cho thấy ý nghĩa bài tốn như đã được phân tích trong chương 1 và 4.
Nhiệm vụ đưa ra cịn mong muốn HS có thể nghĩ đến mơ hình tia số để giải quyết bài tốn. Lúc này, tia số như một cơng cụ để giải quyết bài tốn. Ngồi ra, tia số có thể hiểu là phương tiện để biểu diễn những điểm có tọa độ là các phân số đã cho. Ngầm ẩn sau đó là giới thiệu tính chất trù mật của tập hợp các phân số. Hơn nữa, chúng tơi cũng hi vọng có thể quan sát những khó khăn, sai lầm của các em khi giải bài toán.
Câu b của bài toán 5
Câu b của bài tốn 5 được hình thành từ tình huống cơ sở sau đây, mà việc giải quyết đòi hỏi phải sử dụng kiến thức về so sánh phân số, tính trù mật của tập hợp
các phân số, so sánh số tự nhiên. Tình huống cơ sở: “Tìm n giá trị x thỏa:
a c
x
b < <d với a, b, c, d ∈N; b d, ≠0”.
Mục tiêu của câu b: nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của HS về so sánh phân số (cụ thể hơn là tính trù mật của tập số biểu diễn bởi phân số); làm thay đổi phần nào mối quan hệ cá nhân này và giúp cho HS hiểu sâu hơn nghĩa phân số theo quan điểm tia số.
Trong một nghiên cứu khác của chúng tôi chỉ ra rằng các em chịu ảnh hưởng từ “tính chất rời rạc” của tập số tự nhiên nên dễ mắc phải sai lầm. Do đó, một lí do khác dẫn chúng tơi đến thực nghiệm là giúp các em khắc phục, sửa chữa các sai lầm như thế.
5.4.1.2. Ngữ cảnh lớp học của bài toán 5
Bài toán 5 được tiến hành giải sau khi HS được học về so sánh các phân số, sắp xếp dãy các phân số theo thứ tự tăng dần (giảm dần). Bởi vì, SGK hiện hành chưa đề xuất cách tiếp cận phân số dựa trên tia số nên bài toán 5 là cơ hội khác cho HS thấy được điều đó (sau bài tốn 4). Ngồi ra, thơng qua hoạt động giải toán 5, trẻ hiểu hơn về “sự dày đặc” của các phân số trên tia số.
5.4.1.3. Phân tích tiên nghiệm câu a của bài tốn 5
Phân tích biến didactic trong câu a của bài tốn 5
Câu a của bài toán 5 liên quan đến một kiểu nhiệm vụ mà HS được học: Sắp xếp
một dãy phân số theo thứ tự tăng dần (hay giảm dần). Một số biến didactic gắn liền
với kiểu nhiệm vụ cần quan tâm:
* B1: Số phân số được sắp xếp: ít, nhiều, rất nhiều.
- Giá trị biến B1 là “ít ” giúp người thực hiện sớm tìm ra câu trả lời đúng nhờ biểu diễn mơ hình diện tích hay qui đồng mẫu số.
- Khi B1 nhận giá trị “nhiều, rất nhiều ”, người làm gặp khó khăn trong việc tìm ra mẫu số chung của nhiều phân số. Ngồi ra, họ có thể phải dùng nhiều mơ hình trực quan để biểu diễn phân số.
* B2: Quan hệ tử số - tử số, mẫu số - mẫu số của hai phân số a c,
b d
Giá trị có thể của biến B2: (a < c, a > c, a = c) ; (b < d, b > d, b = d)
- Khi a = c ; b = d, giá trị biến này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho người làm có một kết quả đúng.
- Khi a < c ; b < d, người làm dễ mắc sai lầm khi nghĩ như so sánh hai cặp số tự nhiên.
- Với các giá trị biến còn lại, người thực hiện cũng có thể nhầm lẫn khi so sánh.
* B3: “Khoảng cách giữa 2 phân số, tức c a
d −b ”:
Biến này có thể mang lại các giá trị như sau: rất nhỏ; nhỏ; lớn ; rất lớn. - Khi có c a
d −b lớn và rất lớn sẽ tạo điều kiện người làm dễ so sánh thông qua
việc so sánh một cách trực quan các phần biểu diễn của phân số. - Ngược lại, khi có c a
d −b nhỏ và rất nhỏ, tức khi đó hai phân số a c,
b d gần bằng nhau, do đó phần biểu diễn của các phân số dường như bằng nhau. Điều này gây khó khăn cho người làm phải đối chiếu các phần biểu diễn phân số và đơi khi có thể dẫn đến nhầm lẫn.
* B4: Loại phân số được cho: phân số lớn hơn 1, phân số nhỏ hơn 1.
Phân tích các chiến lược trong câu a của bài toán 5
* C1: Chiến lược ngẫu nhiên: Đây là chiến lược cơ sở. Câu trả đúng hay sai là do
may mắn.
* C2: Chiến lược: so sánh tử số - tử số; mẫu số - mẫu số: Quan sát gắn liền với C2: a < c ; b < d nên a c
b < d .
* C3: Chiến lược dùng mơ hình diện tích: Người làm biểu diễn phân số cần sắp xếp dựa trên tô màu băng giấy hay tơ màu hình trịn, hay hình vng, hình chữ nhật,…Nói chung, đơn vị được lựa chọn là đơn vị liên tục và có thể so sánh diện tích. Phân số nào có phần tơ màu càng nhiều thì càng lớn.
Chiến lược C3 cho kết quả đúng nhưng cũng có hạn chế khi có nhiều phân số bởi vì cần nhiều cơng sức và thời gian để biểu diễn các mơ hình diện tích.
* C4: Chiến lược qui đồng mẫu số: C4 có thể mang lại câu trả lời như sau: a a d
b b d × = × ; c c b d d b × = × . Do đó, bài tốn so sánh a b và c d được quy về so sánh: a d b d × × và c b d b × × . Chiến lược cho lời giải đúng nhưng sẽ mất nhiều thời gian nếu được yêu cầu sắp xếp nhiều phân số. Trong trường hợp này, người làm phải thực hiện nhiều qui đồng mẫu số và độ phức tạp nhiều hơn.
* C5: Chiến lược dùng tia số: Người làm tiến hành biểu diễn các phân số trên tia số và dùng qui tắc sắp xếp: phân số càng gần gốc tọa độ O thì càng nhỏ và ngược lại. Chiến lược này chẳng những cho lời giải đúng mà còn tối ưu bởi lẽ nó cho phép biểu diễn nhiều phân số trong thời gian ngắn và có tính trực quan cao.
Bảng giá trị của biến đặc trưng cho câu a của bài toán 5 và ảnh hưởng các giá
trị của biến đến các chiến lược
Biến B1 B2 B3 B4 Câu a của bài toán 5 n = 3 Các tử số khác nhau Các mẫu số khác nhau Khoảng cách nhỏ Các phân số nhỏ hơn 1 Khi B1 nhận giá trị n = 3 trong câu a của bài tốn 5, tức có 3 phân số cần được sắp xếp. Lúc này, C3, C4, C5 chiếm ưu thế.
Câu a của bài tốn 5 có giá trị các mẫu số khác nhau, tử số khác nhau. Các giá trị của biến B2 như thế đôi khi dẫn HS đến sai lầm khi chỉ so sánh các mẫu số. Do vậy, C2 có cơ hội tồn tại trong trường hợp này.
Các khoảng cách phân số được cho khá nhỏ. Do vậy, việc biểu diễn các mơ hình phân số qua số phần / tồn thể đơi khi khiến người làm lúng túng khi so sánh các phần được lấy ra. Vì thế C3 đã tỏ ra đắc giá ở đây.
Các phân số được cho đều nhỏ hơn 1 nên tạo sự thuận lợi cho người thực hiện sử dụng các mơ hình số phần / tồn thể. Nói cách khác, C3, C5 tỏ ra hữu tích với ràng buộc như thế của bài tốn.
Những quan sát có thể trong câu a của bài toán 5
Câu a của bài tốn 5 mang lại những quan sát có thể: - Chiến lược “ngẫu nhiên”, C1: 3 2 4, ,
4 5 5 ; 4 2 3, ,
5 5 4;3 4 2, ,4 5 5 ,... 4 5 5 ,...
- Chiến lược “so sánh tử - tử , mẫu - mẫu”. C2: vì 2 < 3 < 4 ; 4 < 5 nên
2 3 4
5< <4 5. Đáp số: 2 3 4, , 5 4 5 .
3 4 2 5 4 5 So sánh phần tô màu dẫn đến 2 3 4 5< <4 5. Đáp số: 2 3 4, , 5 4 5. - Chiến lược qui đồng mẫu số, C4:
3 3 5 154 4 5 20 4 4 5 20 × = = × ; 2 2 4 8 5 5 4 20 × = = × ; 4 4 4 16 5 5 4 20 × = = × . Vì vậy 8 15 16 20<20< 20 nên 2 3 4 5< <4 5. Đáp số: 2 3 4, , 5 4 5 . - Chiến lược dùng tia số, C5:
3 4 O 2 5 4 5 1 Mơi trường
* Mơi trường vật chất: hình ảnh trực quan thể hiện thứ tự các phân số trên tia số, các mơ hình dùng để so sánh các phân số, kết quả của các phép tính.
* Mơi trường phi vật chất: qui đồng mẫu số hai phân số, so sánh hai phân số, quan hệ thứ tự các phân số trên tia số, tính chất trù mật của tập hợp các phân số.
5.4.1.4. Phân tích tiên nghiệm câu b của bài tốn 5
Phân tích biến didactic
Tình huống thực nghiệm được xây dựng dựa trên việc lựa chọn giá trị của một
số biến didactic:
- Giá trị biến V1 là “cùng mẫu số” giúp người thực hiện sớm tìm ra câu trả lời đúng nhờ so sánh hai tử số như so sánh các số tự nhiên.
- Khi V1 nhận giá trị “khác mẫu số”, người làm gặp khó khăn trong việc tìm ra các giá trị của x. Lúc này, họ qui đồng mẫu số mới có cơ may cho lời giải đúng.
* V2: Quan hệ tử số - tử số, mẫu số - mẫu số của hai phân số a c,
b d
Giá trị có thể của biến V2: (a < c, a > c, a = c) ; (b < d, b > d, b = d)
- Khi a = c ; b = d, giá trị biến này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho người làm có một kết quả đúng.
- Khi a < c ; b < d, người làm dễ mắc sai lầm vì nghĩ như so sánh hai cặp số tự nhiên. - Với các giá trị biến cịn lại, người thực hiện cũng có thể nhầm lẫn khi so sánh.
* V3: “Số n”
Biến V3 có thể cho giá trị như sau: n = 0 (tức khơng tìm được x), n = 1(có duy nhất x), n nhỏ, n đủ lớn.
- Khi đề ghi “khơng tìm được x”, người thực hiện dễ dàng cho nhận định là sai
vì có thể chỉ ra được ngay một giá trị 3 5
x= .
- Giá trị biến V3 là “duy nhất x” gây nhầm lẫn cho người làm vì nghĩ chỉ tìm
được 3 5
x= .
- Với giá trị n đủ nhỏ, người thực hiện có thể sớm tìm ra các giá trị của x vì khơng phải thao tác nhiều.
- Với n đủ lớn, người làm tiến hành nhiều thao tác và mất nhiều thời gian để tìm ra đủ n số x để thỏa yêu cầu của đề bài.
* V4: “ Khoảng cách giữa a d. và b c. ”.
Biến này có thể mang lại các giá trị như sau: b c ad. − =0; b c ad n. − < ; .
b c ad− >n.
- Khi có b c ad. − =0, tức khi đó hai phân số a c,
b d bằng nhau, do đó khơng tìm được giá trị x nào. Người làm thuận tiện hơn khi đưa ra kết luận.
- Giá trị biến b c ad. − >n tạo điều kiện thuận lợi cho người giải vì chỉ cần qui đồng mẫu số hai phân số chỉ một lần là có thể liệt kê ra được đủ số lượng giá trị x
như yêu cầu của bài toán.
- Ngược lại, b c ad n. − < khiến cho người làm mất nhiều thời gian vì phải qui đồng mẫu số và làm cho mẫu số lớn lên để nới rộng khoảng cách giữa a d. và b c. .
Các chiến lược và cái có thể quan sát được
* S1: Chiến lược ngẫu nhiên: Đây là chiến lược cơ sở. Câu trả đúng hay sai là do
may mắn.
* S2: Chiến lược tìm x dựa vào so sánh tử số - tử số; mẫu số - mẫu số: Quan sát gắn
liền với S2: Vì a < p < c ; b < q < d nên chỉ tìm được giá trị phân số x p q
= .
* S3: Chiến lược qui đồng mẫu số: S3 có thể mang lại câu trả lời như sau: a a d
b b d × = × ; c c b d d b × =
× . Do đó, bài tốn quy về tìm x thỏa :
a d c b x b d d b × < < × × × . Khi đó tìm các giá trị p thỏa: a d× < < ×p c b và các phân số cần tìm có dạng: p
b d× . Chiến lược này được xem là tối ưu vì ít tốn thời gian và cho lời giải đúng.
* S4: Chiến lược trung bình cộng: Người làm tiến hành tìm trung bình cộng như sau:
2 2 a c a d b c b d b d × + × + ×
= . Cách này cũng cho phép tìm được giá trị x là giá trị trung bình cộng của hai số. Q trình tìm trung bình cộng có thể được tiến hành mãi. Chiến lược này mang lại đáp số đúng nhưng chưa phải tối ưu vì người làm phải tốn nhiều thời gian khi tính trung bình cộng của các số. Chiến lược này được nhắc đến trong thể chế đào tạo GV tiểu học.
STT T
Biến Giá trị được chọn
1 V1 Hai phân số cùng mẫu số 2 V2 a < c ; b = d
3 V3 n = 5 (nhỏ) 4 V4 b c a d. − . = <1 n
Ảnh hưởng của việc lựa chọn giá trị của biến đến các chiến lược
* Việc lựa chọn giá trị của V1 là hai phân số có cùng mẫu sớm mang lại một số điều thú vị. Vì chúng có cùng mẫu số nên HS nghĩ đến chuyện thay so sánh hai phân số bằng so sánh hai số tự nhiên (hai tử số). HS có thể sớm tìm ra được một giá trị của x. Tuy nhiên, chính điều này cũng khiến HS khơng nghĩ đến những chiến lược cho lời giải đúng như S3, S4. Thêm vào đó, đơi khi một số em có thể may mắn
nêu ra được 3 5
x= (S1).
* Biến V2 chỉ ra khoảng cách giữa hai tử số đầu và cuối “nhỏ”, tức: 2 và 4. Do
đó, HS nghĩ chỉ tìm được một giá trị là 3 để 2 < 3 < 4 mà không quan tâm đến các mẫu số. Hay, S2 sẽ dễ xuất hiện. Ngồi ra, giá trị biến này cịn gây trở ngại cho việc tìm các giá trị x khác nếu HS không biết làm lớn mẫu số hay tìm giá trị trung bình cộng của hai phân số. Vậy giá trị biến này làm hạn chế nảy sinh chiến lược S3, S4.
* Giả định nếu bài tốn tìm 1 phân số để dự đốn vị trí nhà của Hoa, HS sớm tìm