1. Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây cung MN, do đường kính là
dây cung lớn nhất, ta luôn có : MN ≤ AB
2. Trong đường tròn (O) coi hai dây cung AB và CD, gọi H và K lần lượt là
7.15
Cho đường tròn tâm O và điểm A ở miền trong đường tròn này (A khác O). Một đường thẳng (d) qua A cắt đường tròn tại M và N, gọi H là trung điểm của MN.
1. Chứng minh điểm H thuộc một đường tròn xác định.
2. Xác định vị trí của (d) để độ dài dây cung MN lớn nhất ? nhỏ nhất ?
7.16
Cho đường tròn (O,R)với dây cung AB cố định không qua O. Xác định vị trí điểm M trên cung lớn AB để chu vi tam giác MAB lớn nhất .
Hướng dẫn
Trên tia đới của tia MA lấy MC = MB. Tam giác cân MBC cho ACB∧ =
2 AMB∧
(hằng)
Mà AB cố định nên C thuộc cung chứa góc có số đo bằng
4
1 số đo ABpcủa đường tròn (O ; R) dựng trên đoạn thẳng AB. Chu vi tam giác MAB : MA + MB + AB mà độ dài AB không đổi, nên chu vi tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi : (MA +MB) lớn nhất ⇔AC lớn nhất. Nghĩa là AC là đường kính của cung chứa góc nói trên ⇔ ∧
ABC= 900. Trong điều kiện đó : A C∧ ∧+ = 900 và
1 2 B B∧ ∧+ = 900 mà C∧=B∧2. Nên : A B∧1 = ∧ ⇔ pMA MB= q
Vậy chu vi tam giác MAB lớn nhất khi M có vị trí, M0 là điểm chính giữa của cung lớn AB.
7.17
Cho đường tròn (O; R) và điểm I ở miền trong đường tròn này (I khác O). Tìm trên đường tròn một điểm M sao cho góc IMO có số đo lớn nhất.
7.18
Cho tam giác ABC vuông góc tại A với điểm M thuộc cạnh AC. Gọi N là điểm đối xứng của M qua A và P là điểm đối xứng của M qua đường thẳng BC. Xác định vị trí của điểm M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BNCP có bán kính nhỏ nhất.
M và cắt (O/) tại N (B nằm giữa M va N). Xác định vị trí của (d) để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN có độ dài lớn nhất.
7.20
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O ; R). Lấy điểm M trên cung nhỏ BC : kẻ MH , MI, MK lần lượt vuông góc với BC, CA, AB tại H, I, K. Xác định vị trí của M để :
Σ = MA + MB + MC + MH + MI + MK
có giá trị nhỏ nhất ? có giá trị lớn nhất ?
Hướng dẫn :
Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều ABC, đặt : Σ1 = MA + MB + MC
Σ2 = MH + MI + MK
Trên dây MA lấy MD = MB, chứng minh : - Tam giác MBD đều để có : BD = MB
- Hai tam giác MBC và DBA bằng nhau để có : MC = DA Nên : Σ1 = MA + MB + MC = 2MA Mặt khác : MH = 2S( MBC) a Δ MI = 2S( MCA) a Δ MK = 2S( MAB) a Δ Σ2 = 2 a[S(ΔABC) + 2S(ΔMBC)] Ta có :
Σ nhỏ nhất khi M trùng B (hoặc C) lúc đó cả Σ1 và Σ2 đều nhỏ nhất và Σ lớn nhất khi M trùng M0 (M0 là điểm chính giữa của cung nhỏ BC) lúc đó cả Σ1 và Σ2 đều lớn nhất.
D. VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
Để vận dụng được các bất đẳng thức đại số ta thường đặt một (hay nhiều) đại lượng hình học (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tỉ số lượng giác một góc, diện tích một hình …) làm biến.
Biểu thị đại lượng cần tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất bằng một biểu thức của biến (hay những biến) này rồi sử dụng bất đẳng thức đại số thích hợp để tìm điều kiện mà biểu thức đó đạt cực trị.
7.21
Cho tam giác ABC có diện tích S. Trên cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các đoạn thẳng : BD = k.BC, CE = k.CA, AF = k.AB
1. Tính diện tích tam giác DEF theo S và k
2. Định k để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất.
Hướng dẫn : S( ABD) BD k S BC Δ = = ⇒ S(ΔABD) = k.S S( AFD) AF S( ABD) AB Δ = Δ = k ⇒ S(ΔAFD) = k 2.S S(ΔDBF) = S(ΔABD) – S(ΔAFD) = k(1 – k).S S(ΔCED) = k(1 – k).S ; S(ΔAFE) = k(1 – k).S S(ΔDEF) = S – 3k(1 – k).S = S(3k2 – 3k + 1) Mà S(3k2 – 3k + 1) = S 3 k 1 2 1 2 4 ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ − + ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ≥ S 4 min S(ΔDEF) = S 4 (tại k = 1 2) 7.22
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và điểm M trên đường tròn này. Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Định vị trí của điểm M để diện tích tam giác OMH lớn nhất.
Hướng dẫn :
OH2 + HM2 = OM2 = R2 S = 1 2OH.HM Mà : OH2 + HM2 ≥ 2OH.HM hay R2 ≥ 4S max S = R2
4 (tại OH = HM hay MOH ∧
= 450)
7.23
Cho tam giác nhọn ABC có cạnh BC cố định. Kẻ hai đường cao AD và BE, gọi H là trực tâm. Xác định vị trí của điểm D trên cạnh BC để tích DA. DH đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn :
Mà : (DB + DC)2 ≥ 4DB.DC hay BC 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≥ DB.DC Nên : DA.DH = DB.DC ≤ BC2 4 (hằng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi DB = DC
max(DA.DH) = BC2
4 (tại D là trung điểm của BC)
7.24
Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm M ở miền trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với BC, CA, AB tại D, E, F. Xác định vị trí của M để :