D. VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
B. VẬN DỤNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VAØ ĐƯỜNG XIÊN
Từ điểm M không thuộc đường thẳng (d) kẻ đường vuông góc MH và các đường xiên MA, MB với (d) (các điểm H, A, B thuộc (d)) thì :
1. MA ≥ MH. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi A
trùng H.
2. MA ≥ MB ⇔HA ≥ HB
7.10
Cho tam giác ABC vuông góc tại A với đường cao AH. Coi điểm M thuộc cạnh huyền BC, kẻ MD và ME lần lượt vuông góc với AB và AC tại D và E. Định vị trí của M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất.
7.11
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với điểm M thuộc cạnh BC, kẻ MD và ME lần lượt vuông góc với AB và AC tại D và E. Xác định vị trí của M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất?
Hướng dẫn
Gọi O là trung điểm của AM, do tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông : OA = OD = OM = OE (= )
2 AM
Tam giác cân ODE (OD = OE) có :
∧∧ ∧
∧
+ =DOM MOE
DOE = 2 (DAO∧ +OAE∧ ) = 2BAC∧ (hằng) Kẻ OI vuông góc với DE (tại I): DOI∧ =BAC∧ DE = 2DI. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC : AM ≥ AH
DE = 2DI = 2OD.sin DOI∧ = AM sin BAC∧ ≥ AH sin BAC∧ (hằng) Đằng thức xẩy ra khi và chỉ khi điểm M trùng điểm H. Vậy đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất khi điểm M trùng chân H của đường vuông góc kẻ từ A đến BC.
7.12
7.13
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M ở miền trong tam giác này.
1. Chứng minh : BC.MA ≥ 2 [diện tích (MAB) + diện tích (MCA)].
2. Xác định vị trí của M để biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất. MA.BC + MB.CA + MC.AB
7.14
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn này. Lấy điểm M bất kì trên (d), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm). Xác định vị trí của M để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Gọi I và H là giao điểm của MO với cung nhỏ AB và dây AB, dễ thấy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB và IH là bán kính đường tròn này.
IH = OI – OH = R – OH.
Do hệ thức lượng trong tam giác vuông OMA : OA2= OM.OH ⇒ OH = OM R OM OA2 = 2 nên IH = R – OM R2
Kẻ OC vuông góc với (d) tại C, do tính chất đường vuông góc và đường xiên :
OM ≥ OC (hằng ) IH nhỏ nhất khi và chỉ khi
OM
R2 lớn nhất ⇔ OM nhỏ nhất nghĩa là M trùng C. Vậy bán kính đường tròn nội tíep tam giác MAB nhỏ nhất khi M là chân đường thẳng vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng (d).