Cho đường tròn tâm O đường kính AB với hai dây cung MN và PQ. Kẻ OH vuông góc với MN (tại H) và OI vuông góc với PQ (tại I).
• Đường kính AB là dây cung lớn nhất.
• Đối với hai dây không bằng nhau, dây lớn hơn
khi và chỉ khi có khoảng cách đến tâm nhỏ hơn :
MN > PQ ⇔ OH < OI
• Đối với hai cung nhỏ : cung lớn hơn khi và chỉ khi
dây căng cung đó lớn hơn : MNq> PQp ⇔: MN > PQ
6.20
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB với hai dây cung AC và AD của nửa đường tròn này. Từ điểm M bất kì trên nửa đường tròn kẻ MH vuông góc với AC tại H và MK vuông góc với AD tại K.
Chứng minh : HK ≤ AB
6.21
Cho đường tròn tâm O và điểm M thuộc miền trong đường tròn này. Qua M kẻ dây AB vuông góc với OM và dây CD bất kì. Kẻ bán kính OP qua M và bán kính OQ vuông góc với CD tại H. Chứng minh :
6.22
Cho đường tròn tâm O với hai dây AB và CD : AB > CD. Biết rằng hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm M ở miền ngoài đường tròn. Gọi H và K lần lược là trung điểm các dây AB và CD.
1. Chứng minh : OMH OMKn< n 2. Chứng minh : MH > MK
6.23
Trên dây cung AB của đường tròn tâm O có hai điểm C và D chia dây này thành ba phần bằng nhau : AC = CD = DB. Kẻ các bán kính OE qua C và OF qua D
1. Chứng minh : pAE BF= p 2. Chứng minh : AE < EF
6.24
Cho đường tròn tâm O và điểm A ở ngoài đường tròn này. Kẻ hai cát tuyến ABC và ADE sao cho BC > DE và hai tiếp tuyến AF và AG (F và G là hai tiếp điểm) biết rằng hai điểm B và F ở trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OA. Đường tròn tâm O bán kính OA còn cắt hai cát tuyến ABC và ADE lần lượt tại M và N, cắt hai cát tuyến AF và AG tại P và Q.
1. So sánh độ dài hai đoạn thẳng : AP và AQ, AM và AN. 2. So sánh hai góc MAP và NAQ.
Lược giải.
1. OF ⊥ AP (tại F);OG ⊥ AQ (tạiG) mà OF = OG nên : AP = AQ. Kẻ OH ⊥ BC (tại H); OK ⊥ DE (tại K) mà BC > DE ( giả thiết) nên: OH < OK. Đối với đường tròn lớn : OH < OK⇒ AM > AN
2. Do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: : ∧
< ∧
OAQ OAP (1)
Hai tam giác OAM và OAN có :
OA chung; OM = ON; AM > AN nên :
∧∧ ∧
>AON AOM
Đối với các tam giác cân OAM và OAN do
∧∧ ∧
>AON
AOM , nên : OAM OAN∧ < ∧ (2) Từ (1) và (2) : OAP∧ −OAM∧ ∧
− ∧
<OAQ OAN hay :
∧∧ ∧
>NAQ MAP
6.25
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của CD, OB, OD.
1. Chứng minh hai tam giác OAF và GFE bằng nhau.
2. Chứng minh bốn điểm A, D, E, F thuộc cùng một đường tròn , suy ra AE > DF