D. VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
1. Bài toán tìm cực trị trong hình học.
Xét tập hợp các hình có chung một tính chất, ta phải tìm một hình mà một đại lượng nào đó của hình này (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích…) đạt một giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất. Bài toán như vậy được gọi là bài toán tìm cực trị trong hình học.
2. Cách giải
Ta thường giải theo một trong hai hướng sau đây : A. Cách 1
Thay điều kiện của đại lượng cần tìm cực trị bằng các điều kiện tương đương khác. Từ đó đi đến việc xác định vị trí của các điểm tại đó đại lượng đạt cực trị (điều kiện xẩy ra đẳng thức).
B. Cách 2
Chỉ ra một hình trong tập hợp các hình rồi chứng minh mỗi hình khác trong tập hợp này có yếu tố nhỏ hơn hay lớn hơn yếu tố tương ứng của hình đã được chỉ ra.
C. Ghi chuù
Trong nhiều bài toán tìm cực trị trong hình học.
– Ta còn dùng các kiến thức về đại số hay về diện tích.
– Cũng có khi ta thay việc tìm giá trị lớn nhất của đại lượng này bằng
việc tìm giá trị nhỏ nhất của một đại lượng khác hay ngược lại.
7.1
Coi tập hợp các tam giác ABC vuông góc tại A có tổng độ dài hai cạnh góc vuông : AB + AC = k là một hằng số. Tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất ?
Lược giải
Chu vi tam giác ABC : AB + AC + BC
Trong đó AB + AC = k (hằng) nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh huyền BC nhỏ nhất
BC2 = AB2 + AC2 = ( 2 k + x)2 + ( 2 k – x)2 = 2 k2 + 2x2 ≥ 2 k2
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi : x = 0 nghĩa là AB + AC =
2 k
Vậy trong tập hợp các tam giác ABC vuông góc tại A có tổng độ dài hai cạnh góc vuông là hằng số thì tam giác vuông cân có chu vi nhỏ nhất.
7.2
Cho góc nhọn xOy và điểm M thuộc miền trong góc này. Một đường thẳng (d) qua M cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B. Xác định vị trí của (d) để : MB 1 MA 1 + đạt giá trị lớn nhất. Lược giải
Qua O kẻ đường thẳng song song với đường thẳng (d) và qua M kẻ đường thẳng song song với Ox. Chúng cắt nhau tại N, tứ giác OBMN là hình bình hành nên : ON = MB.
Gọi I là giao điểm của MN và Oy. Do M là điểm cố định và MN song song với Ox nên I là điểm cố định.
Qua I kẻ đường thẳng song song với (d) cắt OM tại J.
Vận dụng hệ quả của định lí Talet đối với các tam giác OMA và OMN :
IJ // AM OM OJ MA JI = (1) IJ // NO OM MJ ON JI = mà ON = MB Nên : OM MI MB JI = (2) Từ (1), (2): IJ 1 OM OM OM MJ OJ MB 1 MA 1 + ⎟⎟= + = = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ IJ 1 MB 1 MA 1 + = ⇒ Vậy MB 1 MA
1 + đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
IJ
1 lớn nhất ⇔IJ nhỏ nhất .
Do xOy∧ < 902 nên yOM∧ < 900 và điểm I cố định, OM cố định nên : IJ nhỏ nhất ⇔ IJ ⊥ OM ⇔(d) ⊥ OM
7.3
Cho đường tròn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng (d) qua O cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Xác định vị trí của (d) để tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.
Lược giải
Qua O kẻ đường thẳng (d/) vuông góc với OA cắt AB và AC lần lượt tại M/ và N/. Tam giác AM/N/ cân tại A (do có AO vừa là đường cao vừa là phân giác của góc A) cho ta : AM/ = AN/ và có diện tích không đổi.
Không mất tính tổng quát, giả sử : AM ≥ AM/ = AN/ ≥ AN.
Do AO là đường phân giác của góc BAC nên :
AN AM ON
OM =
Mà : AM ≥ AN nên : OM ≥ ON
Vậy có một điểm D thuộc đoạn thẳng OM để OD = ON. Hai tam giác ODM/ và ONN/ có : ∧ / = ∧ /
NON
DOM (góc đối đỉnh); OD = ON; OM/ =ON/ Chúng bằng nhau, nên có diện tích bằng nhau, suy ra :
S (OMM/) ≥ S (ONN/)
S (AMN) ≥ S (AN/M/) (= không đổi)
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi : OM = ON, tam giác AMN cân tại A nên trung tuyến AO cũng là đường cao, hay đường thẳng (d) vuông góc với OA tại O.