C. PHƯƠNG PHÁP TRUY CHỨNG (QUY NẠP TOÁN HỌC)
B. ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VAØ ĐƯỜNG XIÊ N.
Từ điểm M ở ngoài đường thẳng (d) kẻ đường thẳng vuông góc MH và các đường xiên MA, MB (các điểm H, A, B thuộc (d)) thì :
• Đường vuông góc là đường ngắn nhất :
MA ≥ MH
• Trong hai đường xiên : đường lớn hơn (hay bằng)
đường kia khi và chỉ khi nó có hình chiếu trên (d) lớn
hay (hay bằng) hình chiếu của đường kia .
MA ≥ MB ⇔ HA ≥ HB
• Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông .
6.13
Cho tam giác ABC vuông góc tại A có cạnh huyền BC = 2. Kẻ ba trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh : 4 < AM + BN + CP < 5
6.14
Cho tam giác ABC vuông góc tại A với đường cao AH. Trên cạnh huyền BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AN = AH
1. Chứng minh MN vuông góc với AB.
2. Suy ra rằng : Trong tam giác vuông tổng độ dài hai cạnh của góc vuông nhỏ hơn tổng độ dài cạnh huyền và đường cao tương ứng.
6.15
Cho tam giác ABC vuông góc tại A (AB ≤ AC). Phân giác của góc A cắt
cạnh BC tại D. Kẻ BH và CK vuông góc với đường thẳng AD tại H và K.
Chứng minh : 2AD ≤ BH + CK ≤ BC
6.16
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn có trực tâm H. Chứng minh : 1. AB + AC > HA + HB + HC
2. 2(AB + BC + AC) > 3 (HA + HB + HC)
Hướng dẫn
MC > HC (1) NB > HB (2) Đối với tam giác AMH : AM + MH > HA (3)
Từ (1), (2), (3) : MC + NB + AM + MH > HC + HB + HA mà MH = AN
Nên : (AN + NB) + (AM + MC) > HA + HB + HC AB +AC > HA + HB + HC (4)
2. Tương tự : AC + BC > HA + HB + HC (5) BC + AB > HA + HB + HC (6) Nên : 2(AB + BC + AC) > 3(HA + HB + HC)
6.17
Cho hình vuông ABCD có độ dài đường chéo là 1. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy lần lượt các điểm E, F, G, H. Kẻ EI vuông góc với BD tại I và EK vuông góc với AC tại K.
1. Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh tứ giác EIOK là hình chữ nhật, tính chu vi hình này.
2. Chứng minh chu vi tứ giác EFGH không nhỏ hơn 2.
6.18
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O/ ; r) cắt nhau tại A và B với R ≠ r. Kẻ
tiếp tuyến chung CD: C thuộc (O ; R) và D thuộc (O/ ; r). Gọi I là giao
điểm của AB và CD, qua C kẻ đường thẳng song song với AD và qua D kẻ đường thẳng song song với AC chúng cắt nhau tại E.
1. Chứng minh ba điểm A, B, E thẳng hàng. 2. Chứng minh : BE > R + r
Hướng dẫn
1. Hai tam giác đồng dạng IAC và ICB cho : IC2 = IA . IB
Hai tam giác đồng dạng IAD và IDB cho : ID2 = IA . IB
Từ đó I là trung điểm của CD. Hai đường chéo của hình bình hành ACED cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nghĩa là tại I. Đường thẳng AB cũng qua I, vậy ba điểm A, B, E thẳng hàng.
2. Gọi H là giao điểm của AB và OO/ và gọi M là trung điểm của OO/ Ta có : AB ⊥ OO/ (tại I) AB = 2AH
MI là đường trung bình của hình thang OCDO/: IM =
2 r R 2 D O OC / + = +
Mà theo tính chất đường vuông góc và đường xiên : HI ≤ IM Nên : BE = 2HI ≤ 2 IM = R + r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H trùng M nghĩa là R =r, điều này trái với giả thiết . Vậy : BE < R + r
6.19
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O và đường kính AB và
đường tròn tâm O/ đường kính AC còn cắt nhau tại D. Gọi M là điểm
chính giữa của cung nhỏ CD, tia AM cắt cung AD của đường tròn tâm O tại N.
1. Chứng minh ba điểm O, O/, N thẳng hàng
2. Chứng minh : 12 /1 2 1 2