. Đối với một bài toán có điều kiện, các trường hợp đặc biệt xảy ra khi các biến có mặt bằng nhau hoặc xảy ra dấu bằng trong các đánh giá của điều kiện
Vư,ửẠM,aỦ~8eệ Ặ(e )= Ặ(8).
Vậu nếu ta xác định được một bắt biến tổng quát Ặ thà uới hai trạng thái Ủ ; ử8 bắt kù, có thể xác định được Ủ ~ 8 hay là Ủ 8 bằng cách so sánh Ặ(Ủ) oà Ặ(0).
Nếu ta chỉ xác định được một bắt biến Ƒ tà uới hai trạng thái Ủ ; 0 ta có Ặ(Ủ) # Ặ(8) thà la kết luận Ủ Ủ ử. Tuy nhiên, nếu Ặ(Ủ) = Ặ() th không thể kết luận gì uề mối
tương quan giữa Ủ uà 8.
Để râu dựng bất biến tổng quát thường sử dựng định lú sau Định lắ ậ. Nếu
a) Tôn tại tập A := {ỗi ;ỗy; ...: ô¡} gồm l trạng thái phôn biệt của M sao cho VaưẠ, 3ôƯẠA,ơd~ô,.
b) Bắt biến Ặ nhận ắt nhất L giá trị khác nhau,
Thà Ặ là bất biến tổng quát uà các trạng thái Ạ A là đôi một không tương đương. Chứng minh:
Từ a) ta thấu có không quá Ì quỹ đạo. Từ b) ta thấu có không ắt hơn I quỹ đạo.
Vậu có đúng Ì quỹ dạo. Từ b) ta thấu Ặ nhận đúng Ì giá trị, suy ra Ặ là bất biến tổng
quát.
Cuối cùng, từ a) ta thấu các trạng thái khác nhau của A sẽ thuộc các quỹ đạo khác nhau niên đôi một không tương đương.
63 Vắ dụ
Vắ dụ 1. Hồnh tròn được chia thành n hành quạt. Tu zếp m. tiên sởi một cách tuỳ
Ú Uào : hành quạt đó. Dược phép đồng thời chuuển một tiên sởi từ một hành quạt baaats kù sang hành quạt kề bên theo chiều bim đồng hồ uà chuuển một tiên sởi từ một hành quạt bắt kỳ sang hành quạt kề bên theo hướng ngược lại. Hỏi rằng làm như uậu sau một
số hữu hạn bước có thể từ 1ị trắ mà ở mỗi hình quạt có đứng một uiên sởi thu được tị
trắ mà tắt cả các uiên sổi được tập trung uễ trong cùng một hành quạt hau không? HDG: Đánh số các hình quạt từ 1 đến n theo chiều kim đồng hồ kể từ một hành quạt nào đó. Với mỗi trạng thái xếp sởi Ủ, gọi ak(Ủ) là số uiên sởi trơng hình quạt thứ k.
Đặt q(Ủ) := 1.a1(ụ) + 2.aa(Ủ) + :-- + r..dẤ(Ủ) 0à r{Ủ) := q(Ủ) (mod n)
Ta chứng mảnh các khẳng định sau:
1)r(Ủ) là bát biến tổng quái.
2) Gợi 8 là trạng thái mò ở mỗi hình quạt có đứng một tiên sổi; + là trạng thái nà n uiên sở: tập trưng uào hành quạt thú L thà rứy) = 0 tà r(8) = 0 ẹ mỦ là số lẻ. 3) Từ đó suụ ra