C A(uit, that, uạẬ);
AƠ= BD= ⁄2(a5+Đệ).
Vì AC và BD là hai dây cung của đường tròn (Ó,a) nên chúng bằng nhau khi và chỉ khi ABCỂD là một hình thang cân ở vị trắ Ái B.CtD; (hình 2) nhận (OP) làm trục đối xứng và cũng là trung trực chung của hai đáy :Ể và AiD.
+) Cũng từ (6) suy ra,
min(AC + BĐ}? = 8(a? + b2) Ở 4(a Ở b)? = 4(ụ + b)? Ẳẹ |AC Ở BD| đạt max = 2(a Ở b)
và do đó, khi và chỉ khi một trong hai đường chéo (AC hoặc B7) là đường kắnh đi qua P của (O,a), còn đường chéo kia (BD hoặc AC) là dây cung ngắn nhất đi qua P. Ta đi đến kết luận p đạt giá trị nhỏ nhất pạ,
ĐĐm = 4V a(a + b), (9)
khi và chỉ khi ABỂD ở vị trắ của tứ giác. 4Ể; nhận đường chéo lớn làm trục đối xứng, trùng với đường kắnh đi qua P của (O,ụ); (chẳng hạn AsỂƯ 3 P ở hình 3).
lời giải 2. (Lời giải lượng giác)
a) Ký hiệu điệu độ lớn ớn các gốc ở 7 tâm AOĐ, 28, B0C, cop Và, Do42 lần lượt là là 2z, 'Ỉ 2W; 2 2z và,
2t. Khi đó AƠB = 4DB = z, BA = BD = ụ,CAD = CBDB = z,DBẢ = DCẢ = t; (Hình 1) đồng thời thoả mãn các điều kiện sau
Ũ<z,y,z,Ậ< m (10)
+2 =W+E=s. (11)
Ngoài ra, theo định lý hàm sin ta có
4B_ BƠ CD_ ĐA _ _ (12)
SIn1Z SIn/ sinz sinử
Từ (11) và (12) ta thu được biểu thức (**) sau đây về chu vi p của tứ giác ABỂD Đ = 2a(sin + + cos z + sin 1 + cos 1). . (*) Đến đây bài toán quy về tìm cực đại ẶẤ và cực tiểu !Ấ của biểu thức lượng giác sau
đây
Ặ(Ủ, 9) = f(u, z) = sinz + cos ụ + sỉn + cos , (+) trong đó hàm lượng giác Ặ(z,1) được xác định trong miền mở: (0,5) của hai biến z, không độc lập mà theo hệ thức (1) được chỉ ra trong lời giải 1 ở trên thì z, ràng buộc với nhau bởi điều kiện (đẳng thức)
2
. . b
sin 2z. sin 2 = Ấ (18)
Với nhãn quan này ta đề xuất được một bài toắn mới uÈ cực trị lượng giác sau: Đài toán 13. Tìm cực đại ẶẤ và cực tiểu ẶẤ của biểu thức lượng giác sau (** ):
Ặ(, 9) = sin z + cos z + sỉn + cos 0,
107
` 7 ể_ `
trong đó Ặ(z,) được xác định trong miễn mở (0, 3) của. hai biến thực z, ràng buộc với nhau bởi hệ thức (13):
2 Sin 2z. sin 2 = =- Sin 2z. sin 2 = =-
ữ
b) Nhờ công thức sin u+cos = 4⁄2 sin(u + 2), Vu và hai công thức biến đổi các tổng Sin + sin2 và cos + cos thành tắch, chúng ta dễ dàng đưa được biểu thức (**)) của, Ặ(z, w) về một trong hai dạng sau
Ặ(ệ.) = VẾbin(ụ + 5) + sin(y + ^)), | 0 )- (5) ⁄4ỞĐU
Ặ(Ủ,w) = 2[sin(Ộ z *) + cos(^ ỹ 3# cos(
+) Đến đây, để tìm giá trị max ẶẤ của Ặ(z,) ta sử dụng biểu thức (14)của. nó. Vì 0 < z, < ậ nên 0 < sin(z + ),sin( + Ỳ) < 1 và do đó Ặ(Ể,9) < 2V2. Suy ra: JM(#,U) = 3V3 ệ ụ =ụ=z=t=Ỳ Ủd=0%ệ P=O ABCD là hình vuông, Bởi vậy, nếu P = O thì Ặf(z,) < 2V⁄2. Từ đó suy ra: Nếu ở #0, tức là P z Ó thì Ặ(z,) đạt max khi và chỉ khi hoặc z = + hoặc = 7. Chẳng hạn, nếu z = #o = { thì 2# = 2z = 3, do đó sin2zo = 1 và Zo = #o = {. Khi đó ta được:
_ max Ặ(#,1/) = Ặw = Ặ(#o,to) = V⁄2 + sin to + COSĐo, - (16)
trong đó 0 < ao < s được xác định bởi:
b2
sin 2o = = (17)
Từ (17) ta tắnh được sin 1o Và cos1o như sau:
SIn o = COậ 1o ể 1 (18
V2(?- 2=) Vl2(a2+va=m, 2
Thay giá trị của sin 1o và cos1/ọ từ (18) vào biểu thức (16) của ẶẤ ta được:
max Ặ(,U) = Ặ(ệo.tn) = Í = V2+ \J1 + S5, (19).
đạt được khi và chỉ khi z = zọ, U =0o, trong đó zọ, 1o được xác định bởi (18).
Cuối cùng, từ giá trị ẶẤ vừa tìm được ở (19), thay vào (**) ta tìm được giá trị lớn nhất pạ của p đúng như biểu thức (8) của nó đã được chỉ ra ở trên trong (lời giải hình học) của bài toán 12.
+) Bây giờ, đến lượt tìm giá trị min của Ặ(Ủ,0) ta lại sử dụng biểu thức (15) của, nó. Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhãn của hai số dương, ta được
Ặ(z,u) > 2VW2sin(z +) cos(^ỞỞỢ). (20)
Dấu đẳng thức ở (20) đạt được khi và chỉ khi:
- /#UTĐỨY.. ++1w +Ẩ+Ụ_ 7T Ở Ở