- Không thể xây ra aƯ; =b với Vi ,7 (Điều này dễ dàng suy ra bằng phương pháp chứng minh phản chứng) ch đó suy ra rằng phải có một số giá trị địy = Ể Mặt khác,
24Thắ dụ minh hoạ
Vắ dụ 1. Cho Ặ(z) = az2 + bz + c. Giả sử a| + |b| + |c| > 17 (+). Chứng minh rằng:
3zẠ|[0;1],|/(z)|>1 (1)
Lời giải. (phản chứng), Giả sử (1) sai, tức là:
YzẠ|0;1], |Ặ()|<1 (1) 1 Ở_ 1 Ở_ Chọn z =0; 3i 1, từ (1) ta được: |c| < 1 và: lđ+b+c| <1 a0 = |a| + |b| + |e| < 17 lạ#s+sl<1
Đó là điều vô lý (trái với (*)). Vậy điều giả sử của ta là sai, tức là (1) đúng. Vắ dụ 2. Chứng minh rằng tập các số nguyên tố P là tập võ hạn.
Lời giải. (phản chứng) Giả sử ngược lại, tập P là hữu hạn. Giả sử Đ = {PL Pa; - -- ¡Pa }. Khi đó, tồn tại số nguyên tố lớn nhất, Gọi đó là pẤ. Tức là:
PuẠP&VpẠCP.p<p,.
Xét số z = Pq.Da. --- .pẤ -+ 1. Ta, có,zẠứ; z không chia hết cho các số D112) - '* ¡Dạ (vì nếu z : ụ; nào đó thì 1: Đ; : vô lý). Vậy p Ạ P. Mà hiển nhiên, z > ụạ. Đó là điều vô lý (trái với cách chọn pẤ). Vậy điều giả sử của ta là sai, tức là P hữu hạn.
Vắ dụ 3. Có thể chia các số tự nhiên từ 1 đến 21 thành các nhóm đôi một rời nhau
sao cho trong mỗi nhóm số lớn nhất bằng tổng của các số còn lại hay không?.
Lời giải. Giả sử chia được. Khi đó tổng các số ở mỗi nhóm là một số chấn (bằng hai lần số lớn nhất ). Vậy tổng của tất cả 21 số đã cho là số chẵn (vì các nhóm đôi một rời nhau và tổng của các số chẵn là số chăn). Nhưng tổng của 21 số đó là 21.11=231 là số lẻ. Điều vô lý đó chứng tỏ giả sử của ta là sai, tức là, không chia được thành các nhóm thoả mãn yêu cầu bài ra.
Vắ dụ 4. Có thể tìm được hay không 5 số nguyên sao cho các tổng của hai số một trong đ số đó lập thành 10 số nguyên liên tiếp?,
Lời giải. Giả sử tìm được 5 số nhự vậy, gọi s là tổng của 5 số đó và w là giá trị nhỏ nhất của tổng các cặp hai số. Khi đó 10 số nguyên liên tiếp nói trong đề bài là ?m, 7ì TƑ Ì, --- , ? 9. Ta tắnh tổng 7 của 10 số đó theo hai cách khác nhau: Một mặt,
J=m+(n+1)+(w+2)+--- + (n + 9) = 5n + 9). Mặt khác , 7 = 4s (do trong 7 mỗi số đã cho có mặt đúng 4 lần). Từ đó suy ra 4s = 5(2n +9) là điều vô lý. Vậy giả sử ban đầu là sai, tức là không thể chọn được 5 số thoả mãn yêu cầu bài ra.
Vắ dụ đ. Cho ba điểm A, B8, phân biệt trên mặt phẳng. Chứng minh rằng nếu tồn
tại điểm Ể thuộc mặt, phẳng đó thoả mãn
Ở> Ở
thì điểm Ể đó là duy nhất.
Vắ dụ 6. (Mởrộng của vắ dụ 5) Trên mặt phẳng cho n điểm phân biệt Ái, 4a, ---, AÁa và 7, số thực ?mị, rnạ, :- :rnẤ thoã mãn rmị + mạ + - - - + tmẤ := mm # 0. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm 7' thoả mãn:
ỞỞ Ở Ở Ở>
TmmịTẢi + mạT Áa +---+ mại Âu = 0.
Vắ dụ7. (TMO 1982) Cho phương trình zỞ 3zy?+ồ=n (1), (neNứ).
1) Chứng minh rằng nếu (1) có nghiệm nguyên thì nó không có nghiệm nguyên duy nhất.