. Đối với một bài toán có điều kiện, các trường hợp đặc biệt xảy ra khi các biến có mặt bằng nhau hoặc xảy ra dấu bằng trong các đánh giá của điều kiện
4 Nguyên lý Dirichlet.
4.1 Tiểu dẫn
Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet là phương pháp mà học sinh được làm quen sớm nhất (từ tiểu học) và là một trong những phương pháp thể hiện rõ cái đẹp của Toán học, làm cho học sinh thêm yêu thắch môn toán. Lập luận của phương pháp Dirichlet thường được sử dụng trong các bài toán cho học sinh giỏi và dùng để chứng minh sự tồn tại một khả năng nào đó mà không cần chỉ rõ khả năng đó tồn tại khi nào, ở đâu và có bao nhiêu khả năng như vậy tồn tại. Phương pháp chứng minh như vậy còn được gọi là phương pháp chứng minh không kiến thiết.
4.2 Cơ sở lý thuyết
Định lắ 6. (Nguyên lý Dirichlet. Peter Gustav LeJeune Dirichlet là nhà toán học người Đức, 1805-1059)
Có n phần tử được sếp hết uào rn tập hợp. Khi đó, tồn tại (có ft nhất một) tập hợp 23 ?
^ 2 `
chúa không ắt hơn (>) " phân tủ. Hay là:
T T= H1
E4=ẠỂ41 = 344, ke Tịm, |4Ư| > >
J=l1
Vì số phần tử của một tập hợp X, ký hiệu là |X|, phải là số tự nhiên nên ta hiểu Tì khái niệm: |X| > Ở như sau: rn
+) Nếu C =kẠứ (n : m) thì:
|Xl>Ở|X|>k(= Trì 3ịỊa )
+) Nếu = ặứ (n không : m) thì:
|X|> Ủ |XỊ> Tn, 7n xi
(ta ký hiệu [z] := phần nguyên của số z Ạ Rì.
Để dễ nhớ, nguyên lý trên còn được phát biểu như sau:
Có mẤ con thỏ được nhốt hết vào rn cái lồng. Khi đó, tồn tại (có ắt nhất một) lồng chứa không ắt hơn (>)= con thỏ.
Đặc biệt, nếu số thỏ nhiều hơn số lồng (Ủ > zm) thì tồn tại lồng chứa ắt nhất hai con
thỏ.
Thường ta chỉ xét trường hợp ụ > mm.
ỞỞỞ 4
Lời giải. (phản chứng) Giả sử ngược lại, tức là: V44;, 7 Ạ 1;m, |4;| < l4] (9). m,
khi đó: 4|=I@44l| j=1 (theo (2) =À `|4¡| 7=1 J4| <).Ở j= Tứ = m.l2l = |4| Ẩn = |4| <|4|_Ở là điều vô lý. 137
Ở Ả
Vậy giả sử của ta là sai, tức là: 3.4z, kẠ 1;m, |.4Ư| 3 BL (đpcm)
Hệ quả: Nếu .4 là tập vô hạn và 44 được phân hoạch thành hữu hạn các tập con 44; thì có ắt nhất một tập con cũng là tập vô hạn.
4.3 Nội dung phương pháp
Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt "thỏ" vào "chuồng" thoả mãn các điều kiện:
+) Số "thỏ" phải nhiều hơn số chuồng.
+) "Thỏ" phải được nhốt hết vào các "chuồng", nhưng không bắt buộc là "chuồng" nào cũng phải có "thỏ",
Thường phương pháp Dirichlet được áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng. Chú ý:Có nhiều bài tập có kết luận "giống như" kết luận của nguyên lý Dirichlet, tuy nhiên, lời giải hoàn toàn không sử dụng nguyên lý Dirichlet.
4.4 Thắ dụ mình hoạ
Vắ dụ 1. Trong hình vuông có cạnh bằng 1 đặt 51 điểm bất kỳ, phân biệt. Chứng ` -
. Ỉ \ 1
mình rằng có ắt nhất ba trong số 51 điểm đó nằm trong một hình tròn bán kắnh z Lời giải. Chia hình vuông đã cho thành 25 hình vuông con bằng nhau có cạnh bằng =' Theo nguyên lý Dirchlet, tồn tại ắt nhất một hình vuông con (Ủ) chứa ắt nhất ba,
- 3 - 1 1
trong sô đ1 điểm đã cho. Đường tròn ngoại tiếp (Ủ) có bán kắnh là PNG < m Vậy ba điểm nói trên nằm trong hình tròn đồng tâm với đường tròn ngoại tiếp (Ủ) có bán kắnh là n (dpcm)
Vắ dụ2. Trong hình tròn (C) có diện tắch bằng 8 đặt 17 điểm phân biệt, bất kỳ. Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được ắt nhất ba điểm tạo thành một tam giác có
diện tắch bé hơn 1.
Lời giải. Chia hình tròn (Ở) thành 8 hình quạt bằng nhau, mỗi hình quạt có diện tắch bằng 1. Theo nguyên lý Dirchlet, tồn tại ắt nhất một hình quạt (Ủ) chứa ắt nhất ba trong số 17 điểm đã cho. Tam giác có ba đỉnh là ba điểm đó nằm trọn trong hình quạt (Ủ) nên có diện tắch nhỏ hơn diện tắch của hình quạt, tức là bé hơn 1.
Vắ dụ 3. Chọn 5 người bất kỳ. Chứng minh rằng có ắt nhất hai người có cùng số người quen trong số 5 người đã chọn.
Vắ dụ 4. Trong một giải vô địch bóng đá có 10 đội tham gia. Hai đội bất kỳ phải thi đấu với nhau đúng một trận. Chứng minh rằng tại mọi thời điểm của giải luôn có hai đội đã có số trận đấu bằng nhau.
Vắ dụ đ. Chứng minh rằng từ 12 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được hai số có hiệu chia hết cho 11.
Vắ dụ 6. Viết m số tự nhiên thành một hàng ngang. Chứng mình rằng hoặc có một số chia hết cho + hoặc có một số số liên tiếp có tổng chia hết cho mm.
Vắ dụ 7. Chứng minh rằng từ đ2 số tự nhiên bất kỳ sao cho hoặc tổng, hoặc hiệu của hai số đó chia hết cho 100. Kết luận còn đúng không đối với 51 số?,
Vắ dụ 8. Trong một hình vuông đơn vị chọn tuỳ ý 101 điểm (có thể thuộc cạnh của hình vuông) sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại tam giác với ba đỉnh là các điểm được chọn và có diện tắch nhỏ hơn 0, 01.
Vắ dụ 9. Trong hình lập phương đơn vị có 2001 con ruồi. Chứng minh rằng có ắt
- Nà ` 1
nhất ba con ruồi nằm trong một hình cầu bán kắnh 1T
Vắ dụ 10. Một số cung của một đường tròn được tô màu đen, các cung còn lại
được tô màu đỏ. Biết rằng tổng độ dài các cung màu đen nhỏ hơn nửa chu vi của đường tròn. Chứng minh rằng có thể kẻ được một đường kắnh của đường tròn với hai đầu mút
được tô màu đỏ.
Vắ dụ 11. Trong hình vuông ABC? có cạnh bằng lem đặt một số hình tròn có tổng các bán kắnh bằng 0, 6cm ( các hình tròn có thể có điểm chung hoặc kể cả trùng nhau ). Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng song song với cạnh AB và có điểm chung với ắt nhất hai trong số những đường tròn nói trên.
_Vắ dụ 12. Trong số 100.000.000 số hạng đầu tiên của dãy Pibonacei:
1;1;2;3;5;8;,..Ề
có tồn tại hay không số hạng tận cùng bằng 4 chữ số 0?.
Vắ dụ 13. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, trong dãy số Fibonacei nói trên luôn tồn tại số hạng tận cùng bằng mụ chữ số 0.
Vắ dụ 14. Trong các ô của một bằng cỡ m x m đặt một cách tuỳ ý các số nguyên từ 1 đến n?. Xét khẳng định sau:
" Luôn tìm được hai ô có cạnh chưng sao cho hiệu của hai số nằm ở hai ô đó lớn hơn, 5. tI
1) Chứng mỉnh rằng khẳng định đó đúng với = = 10. 2) Chứng mỉnh rằng khẳng định đó đúng với mọi mụ > 10. 3) Chứng minh rằng khẳng định đó đúng với nỦ = 9.
4) Chứng minh rằng khẳng định đó không đúng với n = 5. 9) Hãy xét tắnh đúng, sai của khẳng định đó khi mỦ = 6, 7, 8.
Vắ dụ lỗ. Trên mặt phẳng cho 5 điểm A, ỷ, Ơ, D, có các tọa độ là các số nguyên. Chứng minh rằng trong số các tam giác được tạo thành từ 5 điểm đó có ắt nhất ba tam giác có các diện tắch nguyên.
Lời giải. Nhận xét rằng nếu thay đổi tọa độ của một đỉnh một số chãn đơn vị thì
tắnh nguyên của diện tắch không đổi. Ta dịch chuyển tọa độ của các điểm đã cho những số chẵn đơn vị sao cho thu được các điểm mới A', E1, C'), D, E' mà các tọa độ chỉ là các số 0 hoặc 1. Chỉ có 4 trường hợp:
(0;0); (0;1); (1;0); (1;1)
mà có 5 điểm nên sẽ có hai điểm trùng nhau. Giả sử A' = ' = O(0;0). Khi đó, bà tam giác QÓC", OOD', OOEFỢ sẽ có các diện tắch bằng 0 Ạ Z nên các tam giác AĐBG, ABD, ABE sẽ có các diện tắch nguyên.