. Đối với một bài toán có điều kiện, các trường hợp đặc biệt xảy ra khi các biến có mặt bằng nhau hoặc xảy ra dấu bằng trong các đánh giá của điều kiện
aỢb(a Ở b) + b2c(b Ở e) + c2a(eỞụ) >0 (1)
Lời giải. Giả sử a = maz{a;b;c} >=aỞb>0; aỞc >0. Ta có:
VT(1) Ế a(b +eỞ a)(b Ở ụ? + b(a Ở b)(a Ở e)(a +b~Ở e) >0 (đpem)
Vắ dụ 2. (Đ5: 150; VDCHLBĐức) Cho a,b,eẠ [0; 1]. Tìm MẶaz của:
_Ở q + b + C
Ở b+Ạc+1 a+ec+l a+b+T +(1Ởa)(1Ởb)(1Ởe)
Lời giải. Giả sử a = maz{a;b;c}. Khi đó:
b < b . C < C a+c+l `b+c+l ụ+b+l `b+c+I1 (Ủ) Theo bất đẳng thức Cauchy, có =9 3 (ỞÙ)(1Ởce)(1+b+e)< ( =(1-đ)(1Ởe)< (dol+b+c>0) b+c+l ` "Từ đó có: 1 `. Ở Ở Ởc)<ỞỞỞỞ lỞ-aỪ> a=a)1=đa=39<ỞỞỞT (9) (đol~a>0) Từ (Ủ); (8) có: q b C liỞa SpỮƯ+1 lb+re1l be tp _ụ+b+c+l-a " b+c+1 =1
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn khi a = b = e= 0Ạ [0; 1]. Vậy ẢZax F = 1.8
Vắ dụ 3. Chứng minh rằng bốn hình tròn có các đường kắnh là bốn cạnh của một tứ giác lỗi thì phủ kắn miền tứ giác đó.
Lời giải. Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong miền tứ giác A BƠI. Ta có:
%
AMB + BMỀ + EMD + PM = 360ồ (tắnh chất tứ giác lồi)
Do đó, góc lớn nhất trong bốn góc này sẽ > 90ồ. Giá sử 8 MỞ > 90ồ. Khi đó, M nằm "trong hình tròn đường kắnh BƠ. Từ đó có R1.
Vắ dụ 4. Trên đường thẳng cho tập X gồm các điểm sao cho mỗi điểm M Ạ X là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm Ạ X. Chứng minh rằng tập X là vô hạn. Lời giải. Giả sử tập X là hữu hạn, khi đó tồn tại điểm Z là biên của X, nhưng Đ khi đó không thể là trung điểm của hai điểm Ạ X, vậy giả sử sai, tức là tập X là vô hạn,
Vắ dụ đ. Trên mặt phẳng cho tập X gồm các điểm sao cho mỗi điểm M Ạ X là
trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm Ạ X. Chứng minh rằng tập X là vô hạn. Vắ dụ 6. Tại mỗi õ của một bảng ô vuông vô hạn viết một số sao cho mỗi số được viết bằng trung bình cộng của bốn số kề với nó. Chứng minh rằng tất cả các số được viết đều bằng nhau.
Vắ dụ 7. Trên một bàn cờ quốc tế cỡ n x n đặt các quân xe thoả mãn điều kiện sau: nếu có một ô nào đó không có quân xe thì tổng số các quân xe đứng cùng hàng và
* Z ^ 2 2 . è ^ ` ` ⁄ ^
z n
cùng cột với ô đó không nhỏ hơn ự. Chứng minh rằng trên bàn cờ có không ắt hơn >
quần xe.
Lời giải. Tồn tại một đường (hàng hoặc cột, giả sử là hàng ) có số quân xe nhỏ nhất
n2
( giả sử là k quân xe ). Nếu & > 5 thì tổng số các quân xe 9 thoả mãn 9 > mỹ =: .
, T: Ỉ .
Nêu k< 5 thì trên đường đang xét còn + Ở k ỏ trông. Trong mỗi cột của zỞ k cột đi qua những ô trống đó có > r Ở k quân xe và tổng số các quân xe như vậy là > (n Ở k)?. Trong k cột còn lại có > k? quân xe. Mặt khác, dễ thấy:
n2
[{n Ở k)? + k?]Ở Ở =2(E 2 2 Ở k)? >0.
Từ đó suy ra 8.
Vắ dụ 8. Một nước có 80 sân bay mà khoảng cách giữa các cặp sân bay bất kỳ đều khác nhau và không có ba sân bay nào thẳng hàng. Cùng một thời điểm từ mỗi sân bay có một chiếc sân bay cất cánh và bay đến sân bay nào gần nhất. Chứng minh rằng trên bất kỳ sân bay nào cũng không thể có quá đ máy bay bay đến.
Lời giải. Từ giả thiết suy ra nếu các máy bay bay từ các sân bay M⁄ và đến sân bay Ở thì MA là cạnh lớn nhất trong tam giác OM⁄N vì vậy ỘMON là góc lớn nhất trong tam giác OMN và do đó ⁄MON > 60ồ. Giả sử O là sân bay có số máy bay bay đến là nhiều nhất (= m) và các máy bay đó bay đến từ các sân bay ẢM\, Mạ, ---, M,. (Tên của các sân bay được đặt sao cho các tỉa |OM;) và [OM:Ư++) là kề nhau và được xếp ngược chiều kim đồng hồ, MaƯi := Mì.). Do không có ba sân bay nào thẳng hàng nên ta sẽ được Ề góc ⁄M,OM;¡ có tổng bằng 360%. Góc nhỏ nhất trong số các góc đó . _ 960 phải < Ở: Nhưng theo trên, góc đó phải > 60ồ. Từ đó ta có:
ở60ồ
>60ồ>nm<6>n<5..
Từ chứng minh trên ta thấy điều kiện không có ba sân bay nào thẳng hàng có thể bỏ qua.
Vắ dụ 9. Một quốc gia có 2005 thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳ đều có đường nối với nhau. Độ dài của các con đường đó đôi một khác nhau. Từ một thành phố A nào đó ta đi đến thành phố ỷ khác theo con đường ngắn nhất. Từ ỷ ta lại đi đến thành phố Ể khác theo con đường ngắn nhất khác với con đường vừa đi. Cứ như vậy cho đến khi không thể đi tiếp theo quy tắc đó nữa. Hỏi trên đường đi có thành phố nào được đi qua hai lần hay không?
Lời giải. Biểu diễn các thành phố bởi các điểm 4;, (7 Ạ 1..2005 trên mặt phẳng. Giả sử ta xuất phát từ điểm 4¡ và đi đến điểm 4Ư. Khi đó 44; là đoạn ngắn nhất trong
các đoạn 44; và 4s là duy nhất. Xét các đoạn 4a4; và tìm đoạn ngắn nhất trong số các đoạn đó. Có thể xảy ra hai khả năng:
Khả năng l: Min 4Ư4; = 4aƯ4¡. Khi đó đường đi kết thúc tại ÁƯ và không
3Ạ1..2005,7z2
có thành phố nào được ởi qua hai lần.
Khả năng 2: Min 4a; = AaAa. Khi đó 4a là duy nhất và A4ƯA4a < 4aẢi. Ta,
jẠT..2005,7z2
đi tiếp đến điểm 4a. Đối với điểm 4a ta cũng làm như vậy. Giả sử đường đi kết thúc tại điểm ÁẤ thì theo lập luận trên, mỗi điểm AƯ, (k Ạ 1..n) được chọn một cách duy nhất
và,
ẢAi4Ỉa > AƯAa >---> A;A;-+n >-'-Ề> AaS-i da.
Giả sử trên đường đi ta đi qua điểm 4; hai lần, thế thì đường đi trên chứa một đường gấp khúc khép kắn:
`ỞỲ;Ai+tlƯiq2 -': Âm.
Theo nhận xét trên ta có:
A;AƯ.n > ¡+ 1dÁ¡+2 >:.:> Ảm-LÂm > Ảm; => A;AƯ+ > A:Aan.
Đó là điều vô lý (trái với cách chọn điểm 4;Ư¡ là điểm duy nhất có khoảng cách - ngắn nhất tới Ái.
Vậy trên đường đi không có thành phố nào được ởi qua hai lần.