. chứng minh mọi nghiệm của g(x) đều là nghiệm của f(x)
Chứng mỡnh : Giả sử f(x)= h(x).g(x) vớ i;
h(x)= bạ” +bịx”” +, ơơ - n—m-l n—m-l
g(x)= Cụx"" +e,x" "+, +c,_„ đều cú hệ nguyờn.
Ta cú õ, =b„c, „ chia hết cho p và khụng chia hết cho pŸ nờn cú m n>m
đỳng 1 số chia hết cho p, chẳng hạn b„:p cũn c„ „7p, Ta cú : a, = bạc, khụng chia hết cho p nờn b, 7p.
Gọi Ă„ là số nhỏ nhất mà b, , (0<i, <m):
Vỡ 8. “Ca HD, +C._ Ăéị,„Ă †... TấN khụng chia hết cho p, suy ra Í,>k+l, Mà m>i, Smšk+l:
e) Quan hệ bất khả quy trờn Zlxè và 3 Q3): :
* Định lớ : Nếu đa thức feZÍ[x] bất khả quy trờn ZI] thỡ f cũng
_ bất khả quy trờn QIx].
° Bồ đề Gausse : Ta gọi đa thức f e ZÍx] là nguyờn bản nếu cỏc hệ số nguyờn tố cựng nhau. Ta cú bổ đề Gausse : _
Tớch của hai đa thức nguyờn bản là một đa thức guyờn bản. Chứng minh : Cho hai đa thức nguyờn bản sỏu :
m..
f(x)=a,x"+aix"+..,+a, và gố)=bp 3b ””1v..+b
thỡ f(x).g(x)= xCụx em +cx "+ +6 n+m °
"Giả sử tớch trờn khụng nguyờn bản thỡ tồn tại một SỐ nguyờn tố p là ước chung của cỏc hệ số cạ,cC¿,...,.C,..-
Vỡf nguyờn: bản nờn gọi a, là số đầu tiờn r mà 4,/p và ứ nguyờn bản _ nờn gọi b, là số đầu tiờn mà b, ¿p. Bằng cỏch xột hệ. số theo lũy thừa
_ x”! ta cú hệ số: tương ứng khụng chia hết cho pnờn vừ H
_ Vậy f(%).g(x} là nguyờn bản. nà e Chứng minh định lớ : Cho f bất khả quy trờn Z[xè.
Giả sử f khả quy trờn. Q[x]:f(x)=f (x)#,(x) với Ê,Ê, eQÍx], cú bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Đặt f, (x) “p8 (x);f, (x) =1 2g, (x) với c lớn hơn hoặc bằng 1. Đặt f, (x) “p8 (x);f, (x) =1 2g, (x) với c
l , 2 ỉ
tối giản vẬ. Š, (x), 8; (x) nguyờn bản thỡ :