. chứng minh mọi nghiệm của g(x) đều là nghiệm của f(x)
b)Gọi là nghiệm của g(x), ta thấy: g(c nờn g chớnh là giỏ trị của cõn bậc k của đơn xị nghĩa là e*
..éọ đú ; te) =e `" — Ÿ+ETR —lte+..+e "=0,
Vỡ vậy mọi nghiệm cua g(x) đều là nghiệm của f(x) nờn f(x): 'gẲx), Bài tạp 153 : Chứng mỡnh răng với mọi giỏ trị ne ẹ và œe % thoả món. cỏc điều kiện nz I.sinứ #0 thỡ đa thức : _
_ -P{x)= x” sin x— xsin nơ + sin(n = )œ
- chia hết cho đa thức Q(x)= x —2xcosơ +], _ ơ
" (Rumami [962
Giải : Kớ hiệu X = cosơ + Jjsin œ với B=#l. h
Khi đú đa thức Qœ&) được biểu diễn dưới dạng:
Q(x)=(x—cosơ —isin œ)(x —cosơœ + isin œ) = (x—x,)(xX—x., ). Theo cụng thức Moivre, tạ cú :
x„" =(cosBdœ + isinBœ )' =cœ Bnơ +isinfnơ = cos nơ +|3Ă sin nơ.
Do đú : _
`_P(x,)= (cos nơ + Bi sin ng)” sin x —(cos œ + Bi sin œ )sin nơ + sin Án ~ l )ử = COS nơ sỉn ơ — cos œ sin nơ + sinÍn ~ l)œ _ =sinfl~n)œ+sin(n-l)œ=0. ~
Do đú theo định lớ Bezout, đa thức P(x) chia hết cho mỗi đa thức
XEX Xe - (đa thức này khỏc nhau vỡ sinư #0) nghĩa là chia hết cho Q(x).
Bài tạp 154: Tỡm tất cả cỏc - Cập số m, ne N để đa thức : l+x" +2 + +" chia hết cho 1+x+xỶ +. +X” . , .___ (U%A !977) -Giải : Cỏc đa thức : Q(x)=1+x"+x ”+...+A 11
Và P(x)=l+x+x?+...+x" khụng cú nghiệm bội vỡ cỏc đa thức :
x"! ~1s(x-+1)B(x) và:xŠ se -)8Gœ) khụng :cú. nghiệm
bội. Do đú Q(x): P(x) khi và chỉ khi mỗi nghiệm của P(x) cũng là nghiệm
của Q(x) hoặc nếu mỗi nghiệm khỏc 1 của phương trỡnh x"*°=1 khụng là
nghiệm của x" =1. _
l cố : m+l' =è
Vậy tết cả cỏc cặp số cần tỡm m, n phải thoả món hệ thức [ . ` số - x" = Ă cú nghiệm duy Ă nhất x= 1,
- Nếu (m+], n)=‹ đ>! thỡ hệ cú Ị nghiệm là:
: 21t 2n
X= eos^“ +isin“T = x #1,
-_d d
Nếu (m+i, n)=l thỡ tổn tại k ẽ €Z. sao cho : k(m+1)+/n =l. k(m+1)+/n =l.
ˆ Nghĩa là với mỗi nghiệm x của hệ, ta Cể :
_x= xkm0 +im= =(xm) (x ny =1.
'Vậy cặp số nguyờn. m, n thoả món để bài là : (m+I, n)= =1.