Như vậy ta biết được cỏc giỏ trị của đa thức r(x) cú bậc nhỏ hơn n tại n
điểm khỏc nhau a,; lờ, thành thử trong cụng thức nội suy La- ~gỜ-răng thỡ :
r&)=A, Œ= ả;)(X—a:)...(X—a,) + PA, (x- a,)...(X—8-Ă)
(a, =a,)(8, 8y}. Cõu) (8,—8i)sô(8,—8,Ă)
ớl " Xe a, i ` "ơ :
x.. :
=> d1: -a,
#1
Bài tập 124 : Cho a,, a,...a„ là n số khỏc nhau. Chứng minh rằng nếu đa thức
f(x) cú bậc <n—2 thỡ: _ _ ơ Si
Dó —+...+- tỳa,) =
(a, ~a;)(a, —a)...(A, —a„) (a, —õĂ)...(A„ —8,_Ă)
Giải : “ ơ
Theo cụng thức La- -g0-răng thỡ mọi đa thức f(x) cú bậc < n~] đều được viết dưới dạng :
f(x) =f(,). (x-a,)...(X—a„) + Ê(a.) =8) ~4)26=30) +
(a,T—a,)...(aA, —a,„) _ (a, =a,X(a, =a;)...(a, Ta, ) (Xx-a,)..(X—a„)
(a,—a,)...(ả, Ta...) T=
+...+ f(a)
Hệ số của x""' ở vế trỏi bằng 0, cũn hệ số của x"ˆ' ở vế phải là :
f(a,) f(a, ) tựa)
= —+ = . +...+ `
(a, —a,)...(A, ~a,) (a,—a,)(4, ~a,)..(a, —a)- (a,~a,)..(aA, Ta, Ă)
Vậy T=0.
Bài tập 125 : Giả sử đa thức : cụ +c,x+c,x” +...+c,x" cú giỏ trị hữu tỉ khớ x
hữu tỉ. Chứng minh rằng tất cả cỏc hệ số cụ, c,, c;....,c„ là những số hữu tỉ. Giải :
Áp dụng cụng thức nội suy La-gơ-răng với a, =k(k.=0, 1,....n) thỡ được :
f()= ——u ...
nl. ., 1!(n— D† . .
(-1"”f@) 2N TT MA =2)..(xn) . sở (l) Theo giả thiết f(0),f(1),...,f(n) là những số hữu tỉ. Vỡ vậy khai Theo giả thiết f(0),f(1),...,f(n) là những số hữu tỉ. Vỡ vậy khai
triển vế phải của (1) ta thấy rằng cỏc hệ số của cỏc luỹ thừa của x đều là những số hữu tỉ. Rỳt gọn cỏc số hạng đồng dạng, ta được :
f(x)=cạ+c,x+...+c,x" với cạ,c,,....c, là những số hữu tỉ.
e Cú thể ỏp dụng cụng thức nội suy La-gơ-răng tại n+l điểm a, với
k=0,1,...,n hữu tỉ tuỳ ý và khỏc nhau thỡ cũng đi đến kết quả trờn.
â Kết quả : Nếu đa thức f (x) cú Đặc khụng quỏ n và cú giỏ tr trị hữu d
tại n+1l' điểm hữu tỉ khỏc nhau thỡ :
f(x)=c,+c,x+...+c„x" với cạ, €,„....c„ là những số hữu tỉ. Bài tập 126 : Cho đa thức P(x) bậc <2n thoả món điều kiện : Bài tập 126 : Cho đa thức P(x) bậc <2n thoả món điều kiện :
| |P(k)|<1,k =—n, ~(n~1),,....0, I,....n.
Chứng minh rằng : |P(x)|< 2?",Vx e[—n; n]. _
(Hưngrari 1979) Giải :.