Giải : c.
a) Đặt A = cos x + isin x, X = cOSa + Isin a.
A(x""~1)
. X-—I .
Mà : S=(cosx +isin X)+cos(x+a)+isin(x+a)+.... Ta cú: S=A+AX?+..+AX"=
_ +cos(x + na)+ Ăsin(x + na)
=[cosx+cos(x+a)+...+cos(x+na)]+ - _
+i[sin x +sin(x+a)+...+sin(x + na)]
cos(n+l)a+isin(n+1)a—1 ˆ €osa+isina~—l ., n+ẽ sin———a _ ơ 3 tà [ m„) _ =—————| cos| X+— |+isin| x+— ||. -_ õ 27 "2 sin ~ 2 Và: S= (cosx +isin x)
So sỏnh phần thực, phần ảo ta cú điều cõn chứng minh.
b) Ta cú : Vn eẹ,n>2, k =1,2,....n — l thỡ: _ cố s cosk| xe Œ CĐ kg = . 27 n Šesk[x+Ă#F]> Kn =0 =0 " sin—— n %
sin kÍx + t— Nm km 21 — . chứ , 2tr} ———m — =0.. i=U n sin _—. n: Do đú : L„ (‹‹:2) 0,i=k2,. -ơ1.Ố n
Từ việc chọn cỏc giỏ trị x thỡ ta cú điều phải chứng minh là cỏc hệ số
, =b, =0, Vk. _ số
Bài tập 151 : Cho đa thức hệ số phức P(z) bậc n.
a) Chứng minh : dư của phộp chia P(z) cho. z—z, là P(z Za). _
b) Cho P(z) chia z—l cú dư Ă và chia z+Ă cú đư là lưi, Tỡm dư của P(z) chia cho z7 +],
cú _Giải:
a) Ta cú : P(z)=(z—z„)Q(z)+r
z=zy = P(Zz,)= =0+r= dư r= P(zụ).
b) P(z) =(z? +1)H(z)+az+b== P(z)=(z+i)(z—iĂ)H(z)}+az+b
Lấy z=i=>P(i)=ai+b =i=ai+b (1)
Lấy z=—Il=P(~i)=-ai+b=l+i=-a,+b_ - (2)
1. l Từ (1), (2) suy ra: a=—i;b=—+I. (1), (2) yT 2. 52 Từ (1), (2) suy ra: a=—i;b=—+I. (1), (2) yT 2. 52
Vậy dư của P(z) chia cho z2 +l là: shZ+z+ L
Bài tập 152: Chứng minh :
a) XẾ” + xấmH + x2! x2 + x +] với m, n,p nguyờn dương. b) f(x)=x"" +x*2“+ + x9! chịa hết cho: ˆ
g(x)= x tự x2? +. +1,
_ Giải :
a) Để chứng minh một đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(X) chỉ cần . chứng minh mọi nghiệm của g(x) đều là nghiệm của f(x). . chứng minh mọi nghiệm của g(x) đều là nghiệm của f(x).
Nếu gọi w là nghiệm của x”+x+l] thỡ wẰ+w+l=0
hay wè=—w~l; w`=~wè~w=w+l—w=l.
Vậy wè =1 (ở đõy w nhận 2 giỏ trị phức liờn hợp của #5
sink l› + _.. km 2r)_. ` ch nh 2tr} — TKK - : I=0 - n sin :m——Ề n: Do đồ: L_ (x+i2#) 0 =1 2... n
Từ việc chọn cỏc giỏ trị x thỡ ta cú điều phải chứng mỡnh là cỏc hệ số
. =b, =0, Vk. _
Bài tập 151 : Cho đa thức hệ số phức P(z) bậc n.
a) Chứng minh : dư của phộp chia P(z) cho. z—¿„¿ là P{z,).
b) Cho P(2) chia z—i cú dư ù Ỉ và chia z+i cú dư là l+i. Tỡm dư của
P() chia cho zŸ +].
: - Giải :
a) Ta cú : P(z)=(z- z,)Q0)*r
z=z¿ = P(z„)=0+r= dưr= P(z ).
b) P(z) =(z? +1)H(z)+az+b= P(z)=(z+i)(z—iĂ)H(z)}+az+b
Lấy z=i=P(i)=ai+b =i=ai+b ()
Lấy z=~l => P(~i)=-ai+b=l+i=-a+b - (2)
1.7 l Từ (1), (2) suy ra: a=—i;b=—+i (), (2) suy ra: a=iib=2 Từ (1), (2) suy ra: a=—i;b=—+i (), (2) suy ra: a=iib=2
Vậy dư của P(z) chia cho zˆ +1 là: 2b? t2 +è.
Bài tập 152: Chứng minh :
3m 3axI 3p+2 2
a) xi t+x tự x2: x? +x+è] với m, n, p nguyễn dương. b) f(x)=x”"+x 9? +, An ' chia hếtcho: - b) f(x)=x”"+x 9? +, An ' chia hếtcho: -
g(x)= x* tự x2? +..+Í,
xiải :
a) Để chứng minh một đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) chỉ cõn