( ) ( ) α [ ( α ϕ ) ( α ϕ ) ] α
3.1.1Các phương trình phần tử hữu hạn
Công thức phần tử hữu hạn của bài toán vật lý cho trước, đầu tiên phụ thuộc vào bản chất vấn đề và một số phạm vi, đôi khi phụ thuộc vào sự lựa chọn phương pháp số hóa. Các vấn đề khác nhau liên quan đến tạo hình biến dạng dẻo, có ảnh hưởng nhiều đến cách giải bài toán có thể liệt kê như sau:
1. Các công thức tường minh và không tường minh tương ứng ban đầu với các vấn đề khác nhau phân biệt bằng mức tốc độ biến dạng, nhưng hiện nay chúng đang
được sử dụng cho rất nhiều lớp các quá trình khác nhau.
2. Những cố gắng ban đầu mô hình hóa các quá trình tạo hình kim loại bằng phương pháp phần tử hữu hạn đã dựa trên các công thức dòng chảy, hoặc mô hình vật liệu dẻo cứng trong đó bỏ qua biến dạng đàn hồi. Mặc dù phải chi phí nhiều hơn và xử lý phức tạp hơn, nhưng xấp xỉ đàn dẻo vẫn ngày càng được áp dụng cho các vấn đề tạo hình trong kỹ thuật, đặc biệt có ích trong việc phân tích ứng suất dư nói chung và trong cán nêm ngang nói riêng.
3. Công thức Ơle, khi có thể áp dụng, rất hiệu qủa khi xử lý các quá trình đồng nhất, trong khi các công thức Lagrang rất thông dụng cho các trường hợp biến dạng lớn.
4. Xấp xỉ chuyển dịch hoặc xấp xỉ tốc độđược sử dụng rất nhiều trong quá khứ đối với các bài toán thực tế, vì chúng mang lại hiêu quả cao. Tuy nhiên các phương pháp kết hợp chứng minh tính linh động cho các công thức phần tử hữu hạn, chúng cho kết quả hợp lý theo cả hai quan điểm toán học và số hóa.
5. Vấn đề tích phân theo thời gian của các phương trình liên tục đã nhận được sự quan tâm rất lớn trong vòng 20 năm trở lại đây, và cần đạt được sự tiến bộ trong việc nâng cao độ chính xác cho bất kỳ quá trình thực nào.