Câu hỏi thực nghiệm đối với học sinh lớp 12

2. Bộ câu hỏi thực nghiệm

2.2. Câu hỏi thực nghiệm đối với học sinh lớp 12

Tổng cộng 7 5 12

Bảng 11 cho ta thấy số lượng bài tập của dạng đặc biệt 1 nhiều gấp đôi số lượng bài tập ở dạng đặc biệt 2 và nếu xét về độ phức tạp thì dạng đặc biệt 2 phức tạp hơn dạng đặc biệt 1. Điều này cho thấy việc giải quyết bài tập ở dạng đặc biệt 1 là một trong những yêu cầu cơ bản mà các tác giả mong đợi ở học sinh. Nếu so với 4 bài tập thuộc kiểu T2 ở Bài tập Đại số 10 nâng cao thì số lượng bài thuộc kiểu T7 cho thấy Bài tập Đại số 10 nâng cao ưu tiên hơn một chút cho kiểu nhiệm vụ T7.

1.1.3.3. Phương trình tích

Mặc dù, giải và biện luận phương trình tích không được trình bày thành một mục riêng biệt như những dạng phương trình chứa tham số trên nhưng giải và biện luận phương trình tích vẫn xuất hiện thông qua các họat động trong Đại số 10 nâng cao và các bài tập ở Đại số 10 nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao. Lý giải cho việc không có những ví dụ mẫu về giải và biện luận phương trình tích, sách giáo viên Đại số 10 nâng cao trang 117 giải thích như sau:

Chính vì tính chất điển hình của các phương pháp giải nêu trong bài học mà học sinh có thể giải được nhiều dạng phương trình khác như phương trình tích, phương trình có ẩn trong dấu căn bậc hai (dạng đơn giản) mà không cần có ví dụ mẫu.

Qua xem xét các bài tập giải và biện luận phương trình tích xuất hiện trong Đại số 10 nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao, chúng tôi ghi nhận chỉ tồn tại hai trường hợp sau đây:

- Dạng đặc biệt 1: Phương trình tích gồm tích của hai đa thức bậc nhất có chứa tham số m.

- Dạng đặc biệt 2: Phương trình tích gồm tích của một đa thức bậc nhất có chứa tham số m và một biểu thức căn bậc hai không chứa tham số m.

Dưới đây là các minh họa tương ứng cho hai dạng đặc biệt nói trên:

 (2x + m - 4).(2mx - x + m) = 0 (Đại số 10 nâng cao, trang 85, bài 26a)

 (mx + 1) x1 = 0 (Đại số 10 nâng cao, trang 85, bài 26c)

Ta có kiểu nhiệm vụ T8 của bài toán phương trình chứa tham số đó là giải và biện luận phương trình tích có dạng f(x). g(x) = 0

Kiểu nhiệm vụ T8: Giải và biện luận phương trình tích có dạng f(x). g(x) = 0 (*) Kỹ thuật :

- Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu có).

- Sử dụng công thức f(x). g(x) = 0  f(x) = 0 hoặc g(x) = 0. Biến đổi tương đương đưa f(x) = 0; g(x) = 0 về dạng ax + b = 0 hay ax2 + bx + c = 0.

- Giải và biện luận từng phương trình f(x) = 0; g(x) = 0.

- Với những nghiệm ở bước 3, so với điều kiện ở bước 1. Kết luận nghiệm của phương trình (*) theo từng giá trị của tham số.

Công nghệ :

- Điều kiện xác định của các biểu thức đại số đã được trình bày ở sách giáo khoa; - Cách giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0; ax + b = 0;

- Điều kiện để một tích bằng không.

Tiến hành thống kê số lượng bài tập ở cả hai sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao, chúng tôi nhận thấy:

Dạng đặc biệt Dạng phương trình tích Đại số 10 nâng cao Bài tập Đại số 10 nâng cao Tổng cộng Dạng đặc biệt 1 Phương trình tích gồm tích của hai đa thức bậc nhất có chứa tham số m. 3 2 5 Dạng đặc biệt 2 Phương trình tích gồm tích của một đa thức bậc nhất có chứa tham số m và một biểu thức căn bậc hai không chứa tham số m.

2 0 2

Tổng cộng 5 2 7

Bảng 12. Số lượng các dạng đặc biệt của T8 trong hai quyển sách

Bảng 12 cho ta thấy số lượng bài tập ở dạng đặc biệt 1 chiếm đa số (5/7 bài) và nếu xét về độ phức tạp thì dạng đặc biệt 2 phức tạp hơn dạng đặc biệt 1. Điều này cho thấy việc giải quyết bài tập ở dạng đặc biệt 1 là một trong những yêu cầu cơ bản mà các tác giả mong đợi ở học sinh. Bài tập Đại số 10 nâng cao không nêu ra bài tập cho dạng đặc biệt 2 và chỉ góp hai bài ở dạng đặc biệt 1, dạng đặc biệt 2 chỉ mang tính chất giới thiệu ở Đại số 10 nâng cao với số lượng 2 bài. Điều này cho ta thấy, dạng phương

trình vô tỉ chỉ mang tính chất giới thiệu cho học sinh biết. Dạng toán giải và biện luận phương trình vô tỉ có chứa tham số không được sách giáo khoa quan tâm bởi vì theo sách giáo viên Đại số 10 nâng cao trang 4 có ghi “..., đặc biệt không yêu cầu biện luận các phương trình và bất phương trình phức tạp như phương trình hay bất phương trình vô tỉ”.

Bên cạnh đó, dạng đặc biệt 1 của kiểu T8 có thể xem như đó là dạng bài của kiểu T6 (Giải và biện luận phương trình dạng axb  cxd ) hoặc có thể khai triển để đưa về dạng bài của kiểuT2 (Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0) và dạng đặc biệt 2 của kiểu T8 có thể xem như đó là dạng bài của kiểu T7 (Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu thức). Đó là một phần lí do giải thích tại sao giải và biện luận phương trình tích không nêu ra nhưng vẫn xuất hiện ở phần bài tập của hai quyển sách.

1.2. Kết luận về sách Đại số 10nâng cao

Trong sách Đại số 10 nâng cao, chương 3 (Phương trình và hệ phương trình) là chương đầu tiên giới thiệu tường minh các khái niệm: tham số, phương trình chứa tham số, giải và biện luận phương trình chứa tham số. Và theo như Đại số 10 nâng cao trang 65 có viết “[...] Trong đó, điều đáng lưu ý và tương đối khó là vấn đề giải và biện luận phương trình.”

Trong phần bài học, Đại số 10 nâng cao nêu ra hai kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0; ax2 + bx + c = 0 dưới dạng bảng 1 và bảng 3. Đây là hai bảng đóng vai trò là yếu tố công nghệ trong việc giải và biện luận các phương trình chứa tham số được cho trong phần bài tập. Hai kỹ thuật được nêu ra để giải quyết các bài tập trong phần này là kỹ thuật đại số và kỹ thuật đồ thị. Ngoài ra, sách còn giới thiệu dạng phương trình quy về bậc nhất, bậc hai một ẩn đó là phương trình có ẩn ở mẫu thức, phương trình dạng axb  cxd .

Trong phần bài tập gồm có tám kiểu nhiệm vụ và số lượng bài tập ở mỗi kiểu nhiệm vụ trong cả hai quyển sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao

được tổng kết dưới đây:

T2: Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 chứa tham số.

T3: Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số dạng ax2 + bx + c = 0.

T4: Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x,m) (trong đó một đường là parabol và đường còn lại là đường thẳng hoặc parabol).

T5: Định tham số để phương trình dạng ax + b = 0 hay ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.

T6: Giải và biện luận phương trình dạng axb  cxd

T7: Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

T8: Giải và biện luận phương trình tích có dạng f(x). g(x) = 0.

Kiểu nhiệm vụ Đại số 10 nâng cao

Bài tập Đại số 10 nâng cao Tổng cộng T1 13 11 24 T2 10 4 14 T3 2 4 6 T4 2 2 4 T5 12 21 33 T6 5 6 11 T7 7 5 12 T8 5 2 7 Tổng cộng 56 55 111

Bảng 13. Số lượng bài tập thuộc tám kiểu nhiệm vụ trong hai quyển sách

Bảng 13 cho ta thấy số lượng bài tập ở hai quyển sách ngang bằng nhau và cả tám kiểu nhiệm vụ đều xuất hiện ở cả hai quyển sách. Với Đại số 10 nâng cao tập trung vào ba kiểu nhiệm vụ T1, T2 và T5. Bài tập Đại số 10 nâng cao đặc biệt ưu tiên cho kiểu nhiệm vụ T5, kiểu nhiệm vụ T1 xếp thứ hai sau đó. Đó cũng là những yêu cầu mà các tác giả ở mỗi quyển sách mong đợi hơn cả ở học sinh.

Trong phần bài tập với hai kiểu nhiệm vụ T1 và T2 đã góp phần hình thành quy tắc hợp đồng RE;

- RE: Khi giải và biện luận phương trình chứa tham số dạng ax + b = 0 hoặc ax2

+ bx + c = 0, ta xét lần lượt các trường hợp của tham số khiến a  0, a = 0 (nếu a có chứa tham số). Với những giá trị cụ thể của tham số khiến a = 0, ta thay giá trị tương ứng vào biểu thức của b để biện luận theo bảng 1 (đối với phương trình chứa tham số dạng ax + b = 0) hoặc vào biểu thức của  để biện luận theo bảng 3 (đối với phương trình chứa tham số dạng ax2 + bx + c = 0).

Ứng với mỗi kiểu nhiệm vụ có một kỹ thuật giải tương ứng. Tuy nhiên, trong từng dạng đặc biệt của kiểu nhiệm vụ đó có những kỹ thuật giải khác nhau. Chẳng hạn, đối với kiểu nhiệm vụ T1, T2 khi xuất hiện dạng đặc biệt mà hệ số a 0 với mọi giá trị của tham số thì ta kết luận ngay nghiệm của phương trình (đối với dạng phương trình

ax + b = 0) hoặc tính biệt thức  ngay (đối với dạng phương trình ax2 + bx + c = 0) mà không cần thực hiện đúng trình tự các bước nêu trong kỹ thuật giải của kiểu nhiệm vụ T1, T2.

Trong hai kỹ thuật được giới thiệu ở phần bài học thì trong phần bài tập số lượng bài sử dụng kỹ thuật đồ thị chỉ chiếm 6/111 bài, còn kỹ thuật đại số chiếm tuyệt đại đa số (105/111 bài). Ngoại trừ kiểu nhiệm vụ T3, tất cả các kiểu nhiệm vụ còn lại đều dựa vào yếu tố công nghệ ở bảng 1 và bảng 3. Qua đây, ta thấy kỹ thuật đồ thị xuất hiện trong chương trình lớp 10 chỉ mang tính chất giới thiệu, kỹ thuật mà thể chế lớp 10 mong đợi vẫn là kỹ thuật đại số.

Số bài giải và biện luận phương trình chiếm đa số, ngoài trừ kiểu nhiệm vụ T5. Điều đó cho thấy kỹ năng giải và biện luận phương trình là yêu cầu được sách Đại số 10 nâng cao xem trọng trong chương 3 (Phương trình và hệ phương trình).

Trong cả hai quyển sách chưa thấy có những bài tập nhằm cho học sinh biết được việc giải và biện luận phương trình chứa tham số là một trường hợp tổng quát của bài toán giải phương trình ứng với giá trị cụ thể của tham số. Chẳng hạn như kiểu bài tập có sự kết hợp giữa kiểu nhiệm vụ T1 và kiểu nhiệm vụ T5 trong cùng một bài toán.

Các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T5 chiếm số lượng lớn bài tập ở cả hai quyển sách, đặc biệt là Bài tập Đại số 10 nâng caorất quan tâm đến bài tập kiểu T5. Điều này cho thấy

bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ này chiếm một vị trí quan trọng trong thể chế lớp 10. Liệu các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T5 còn xuất hiện ở các lớp 11, 12 và có xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng ?

Kỹ thuật đồ thị trong Đại số 10 nâng caochỉ mang tính chất giới thiệu. Liệu kỹ thuật đồ thị còn xuất hiện trong lời giải các bài toán ở lớp 11, 12 và có xuất hiện trong đáp án các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng?

Trong cả hai quyển sách không có xuất hiện dạng bài tập giải và biện luận phương trình vô tỉ chứa tham số hay giải và biện luận phương trình dạng ax3 + bx2 +

cx + d = 0 chứa tham số. Liệu dạng bài tập này có xuất hiện ở các lớp 11, 12 và có xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng?

2. Phân tích sách Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Qua xem xét hai quyển sách Đại số và Giải tích 11 nâng cao và Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao, chúng tôi ghi nhận phương trình chứa tham số không được trình bày theo chương hay theo bài cụ thể như trong Đại số 10 nâng cao mà phương trình chứa tham số xuất hiện rải rác trong phần bài tập ở chương I (Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác) và chương V (Đạo hàm).

Sách Đại số và Giải tích 11 nâng cao ở chương I không đưa vào phương trình lượng giác chứa tham số. Phương trình lượng giác chứa tham số chỉ xuất hiện trong sách Bài tậpĐại số và Giải tích 11 nâng cao với số lượng khá khiêm tốn là bảy bài.

Trong nội dung phương trình lượng giác, sẽ không yêu cầu học sinh giải các phương trình đòi hỏi biến đổi phức tạp và không xét các phương trình lượng giác có chứa tham số vì đa số bài toán loại này thường dẫn đến phần biện luận khá phức tạp. Các vấn đề phức tạp như thế, nếu cần, có thể đưa vào các chuyên đề tự chọn. (sách giáo viên Đại số và Giải

tích 11 nâng cao, trang 8)

Với tám kiểu nhiệm vụ được nêu ra trong phần phân tích Đại số 10 nâng cao, ngoài sự có mặt của kiểu nhiệm vụ T2 (Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 chứa tham số),T5 (Định tham số để phương trình dạng ax + b = 0 hay ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán), những kiểu nhiệm vụ còn lại đều không xuất hiện ở chương trình Toán lớp 11. Tuy nhiên, Bài tập Đại số và Giải

tích 11 nâng cao có nêu ra những bài tập thuộc hai kiểu nhiệm vụ mới. Đó là : Tìm các giá trị x thoả mãn phương trình với mọi giá trị của tham số; Giải và biện luận phương trình dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0 chứa tham số.

Ta xét một bài tập ở Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao, trang 13, bài 1.33

Tìm các giá trị của x        ; 4 3

thoả mãn phương trình sau với mọi m

m2sinx - msin2x - m2cosx + mcos2x = cosx – sinx

Giải (lời giải củaBài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao, trang 38, bài 1.33)

Viết phương trình đã cho dưới dạng

(sinx - cosx)m2 + (cos2x - sin2x)m + (sinx - cosx) = 0 Để đẳng thức này đúng với mọi m thì ta phải có

       0 sin cos 0 cos sin 2 2 x x x x tức là sinx – cosx = 0 (*) Trong khoảng        ; 4 3 có đúng một giá trị x = 4  thoả mãn.

Kết luận: Trong khoảng 

      ; 4 3 có đúng một giá trị x = 4  thoả mãn phương trình

đã cho với mọi m R

Từ đây, ta có kiểu nhiệm vụ T9 của bài toán phương trình chứa tham số đó là tìm các giá trị x thoả mãn phương trình với mọi giá trị của tham số.

Kiểu nhiệm vụ T9: Tìm các giá trị x (a; b) thoả mãn phương trình với mọi giá trị của tham số

Kỹ thuật :

- Viết phương trình ẩn x ban đầu thành phương trình mới có ẩn là tham số và hệ số chứa x. Một trong những ràng buộc của T9 là phương trình ban đầu phải đưa được về dạng bậc hai hoặc bậc nhất đối với tham số.

- Tìm các giá trị x (a; b) làm cho các hệ số của phương trình mới bằng 0. Công nghệ :

- Điều kiện để phương trình dạng bậc nhất hoặc dạng bậc hai có vô số nghiệm.

- Cách giải các phương trình đại số, phương trình lượng giác cơ bản đã trình bày ở Đại số 10 nâng cao,Đại số và Giải tích 11 nâng cao.

Ta xét một bài tập ở Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao, trang 186, bài 5.42a

Giải và biện luận phương trình f’(x) = 0 biết rằng

f(x) = 4 m x4 – 3 ) 2 (m x3 + 2 5 x2 – 3x + 1

Giải (lời giải củaBài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao, trang 205, bài 5.42a)

Với mọi x R, ta có: f’(x) = mx3 – (m + 2)x2 + 5x – 3

f’(x) = 0  mx3 – (m + 2)x2 + 5x – 3 = 0 (1)

Thử thấy x = 1 là một nghiệm, nên ta có thể viết (1) dưới dạng