Biến đổi Wavelet liên tục tạo ra các hệ số ứng với mọi tỷ lệ trên tồn bộ tín hiệu do đĩ độ dư thừa rất cao, phát sinh nhiều dữ liệu ảnh hưởng đến hiệu quả và mức độ chính xác của nĩ. Yêu cầu đặt ra là cần chọn một tập con các tỷ lệ và vị trí nhằm giảm thiểu tính tốn. Trong cơng trình [4] cho thấy nếu chọn các tỷ lệ và vị trí dựa trên hàm bậc hai cịn gọi là các vị trí và mức dyamic thì phép phân tích sẽ hiệu
O f
(DWT). Năm 1988, Mallat đã đưa ra thuật tốn sử dụng các bộ lọc để thực hiện DWT. Thuật tốn Mallat là bộ mã hĩa băng con hai kênh.
a. Lọc một tầng: các xấp xỉ và chi tiết
Tín hiệu gồm hai thành phần tần số là cao và thấp. Với nhiều tín hiệu, thành phần tần số thấp là quan trọng nhất dùng để nhận biết tín hiệu, thành phần tần số cao chỉ làm tăng thêm độ sắc và độ nét của tín hiệu. Một ví dụ điển hình là tiếng nĩi con người, nếu loại bỏ thành phần tần số cao đi thì tiếng nĩi cĩ khác nhưng vẫn hiểu là đang nĩi gì, nhưng nếu loại bỏ thành phần tần số thấp đến một mức nào đĩ thì khơng cịn nghe rõ nữa. Trong biến đổi Wavelet, người ta đưa vào khái niệm xấp xỉ và chi tiết để đặc trưng cho các thành phần tần số này:
- Xấp xỉ là thành phần cĩ tỷ lệ cao, tức là độ co dãn cao, tần số thấp của tín hiệu. - Chi tiết là thành phần cĩ tỷ lệ thấp, tức độ co dãn thấp, tần số cao của tín hiệu.
Bộ lọc một tầng gồm hai thành phần chính là bộ lọc thơng thấp và bộ lọc thơng cao. Lọc thơng thấp là bộ lọc chỉ cho thành phần tín hiệu cĩ tần số thấp hơn tần số quy định đi qua, cịn lọc thơng cao chỉ cho thành phần tần số cao hơn tần số quy định đi qua.
Hình 2.14.Lọc một tầng
Tín hiệu nguyên thủy S sau khi đi qua bộ lọc thơng thấp và bộ lọc thơng cao tạo ra hai tín hiệu (hình 2.14). Tuy nhiên, nếu thực hiện với tín hiệu thực thì dữ liệu ẽ tăng gấp đơi dữ liệu ban đầu. Ví dụ, tín hiệu ban đầu cĩ 1000 mẫu, sau khi đi
S
Bộ lọc
Thơng thấp Thơng cao
cộng thu được 2000 mẫu. Để khắc phục hạn chế này, sau khi đi qua bộ lọc một tầng, tín hiệu sẽ được đưa tiếp qua một bộ giảm mẫu (down sampling) để giảm tần số lấy mẫu tín hiệu xuống, như vậy, ở đầu ra sẽ thu được hai chuỗi là hệ số xấp xỉ cA và hệ số chi tiết và cD (hình 2.15).
Hình 2.15.Quá trình giảm mẫu
Hình 2.16.Tính Wavelet một sĩng sin cĩ nhiễu tần số cao
Hình 2.16 cho thấy biến đổi Wavelet rời rạc một sĩng sin bị nhiễu ở thành phần tần số cao. Tín hiệu S ban đầu sau khi đi qua bộ lọc một tầng và giảm mẫu thu được hai thành phần hệ số: hệ số chi tiết cD chứa nhiễu tần số cao cịn hệ số xấp xỉ cA chứa nhiễu thành phần tần số thấp, ít nhiễu hơn tín hiệu S ban đầu.
1000 mẫu 1000 mẫu 1000 mẫu S A D 500 mẫu 500 mẫu S cA cD 1000 mẫu cD tần số cao S cA tần số thấp
b. Phân tách đa mức
Hình 2.17.Cây Wavelet
Quá trình phân tách cĩ thể được lặp lại nhiều lần với các xấp xỉ hồn tồn được tách ra, do đĩ tín hiệu ban đầu sẽ được tách thành nhiều thành phần cĩ độ phân giải thấp hơn, gọi là cây Wavelet (hình 2.17).
Nhìn vào cây phân tách của một tín hiệu cĩ thể thu được nhiều thơng tin.
Hình 2.18.Cây Wavelet phân tách tín hiệu
Về lý thuyết, quá trình phân tách tín hiệu cĩ thể lặp lại mãi mãi. Trong thực tế, sự phân tách được thực hiện cho đến khi các chi tiết chỉ cịn một mẫu hoặc một
cA1 S cD1 cA2 cD2 cA3 cD3 S cA1 cD1 cA2 cD2 cA3 cD3
trên nhiễu (SNR – Signal to Noise Ratio) hay trị trung bình bình phương sai số (
MSE – Mean Square Error),…