Transform)
Phép biến đổi Fourier là một cơng cụ mạnh trong phân tích tín hiệu. Tuy nhiên, phép biến đổi này cĩ nhược điểm là khi chuyển tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số thì mọi thơng tin về thời gian bị mất đi trong miền tần số do đĩ khơng thể biết được các sự kiện xảy ra tại thời điểm nào. Mặc khác, phép biến đổi Fourier khơng thích hợp với những tín hiệu khơng ổn định. Nhằm khắc phục hạn chế trên, năm 1946, Dennis Gabor đưa ra phép biến đổi Fourier cải tiến thực hiện trong thời gian ngắn nên được gọi là phép biến đổi Fourier thời gian ngắn.
a. Nguyên tắc
Nguyên tắc của phương pháp này là phân chia tín hiệu ra thành từng đoạn đủ nhỏ sao cho cĩ thể xem tín hiệu trong mỗi đoạn là tín hiệu ổn định, sau đĩ, thực hiện biến đổi Fourier trên từng đoạn tín hiệu này. Như vậy STFT vừa cĩ tính định vị theo tần số do tính chất của biến đổi Fourier vừa cĩ tính định vị theo thời gian do được tính trong khoảng thời gian ngắn.
Hình 2.4. Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn
0 B iê n đ ộ Thời gian Cửa STFT 0 T ần s ố Thời gian
b. Định nghĩa
Tín hiệu x t( ) được nhân với một hàm cửa sổ W t( )-t để lấy được tín hiệu
trong một khoảng thời gian ngắn xung quanh điểm t . Sau đĩ, phép biến đổi
Fourier được thực hiện trên đoạn tín hiệu này và thu được một hàm phụ thuộc vào hai tham biến STFT( )ω t, : ( ) *( ) ( ) - - , - j t STFT ω t +∞W t t x t e ωdt ∞ = ∫ (2.5)
STFT ngược được tính bởi cơng thức:
( ) ( ) ( )* - - - , - j t x t +∞ +∞STFT ω t W t t e ωd dω t ∞ ∞ = ∫ ∫ (2.6) c. Tính chất
- STFT đo sự giống nhau giữa tín hiệu với phiên bản dịch và biến điệu của hàm cửa sổ cơ bản W t( ).
- STFT cĩ tính định vị thời gian – tần số.
- Thao tác dịch và biến điệu hàm cửa sổ khơng làm thay đổi kích thước hàm cửa sổ mà chỉ tịnh tiến theo trục thời gian – tần số.
- STFT thể hiện mối quan hệ giữa thời gian và tần số tín hiệu, cung cấp thơng tin về thời gian và tần số xuất hiện sự kiện.
- Độ phân giải theo thời gian phụ thuộc vào kích thước cửa sổ
d. Hạn chế
Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn cĩ ưu điểm là cho một sự hịa hợp khi mơ tả tín hiệu giữa hai miền thời gian – tần số. Tuy nhiên, nĩ gặp phải hạn chế là khi đã chọn một cửa sổ phân tích thì kích thước cửa sổ khơng thay đổi trên tồn bộ mặt ẳng thời gian – tần số. Mặc khác, đối với các tín hiệu khơng ổn định thì STFT
chọn cửa sổ rộng để phân tích các thành phần ổn định với độ phân giải tần số tốt thì khơng phân tích được với độ phân giải thời gian tốt. Ngược lại, nếu chọn cửa sổ hẹp để đạt được độ phân giải tốt về mặt thời gian thì độ phân giải tần số lại xấu đi. Mâu thuẫn này khơng thể giải quyết được với STFT.