a. Định nghĩa
Biến đổi Wavelet liên tục được xác định là tổng trên tồn khoảng thời gian của tín hiệu nhân theo tỷ lệ, dịch mức của hàm Wavelet [10].
( ) ( ) * - 1 - , t b CWT a b x t dt a a+∞ ψ ∞ = ∫ (2.9) Trong đĩ: - x t( ): tín hiệu vào
- ψ( )t : Hàm Wavelet mẹ (Mother Wavelet). - * t b-
a
ψ
: phiên bản của hàm Wavelet mẹ đã được co dãn và dịch chuyển - a: Hệ số tỷ lệ (co giãn).
- b: Hệ số dịch chuyển.
- 1
a : Hệ số chuẩn hĩa đảm bảo tích phân năng lượng độc lập với a và b. Như vậy tín hiệu cần phân tích sẽ được nhân với một phiên bản của Wavelet mẹ đã được dịch chuyển theo hệ số dịch chuyển b và co dãn theo hệ số tỷ lệ a sau đĩ lấy tích phân trên tồn miền thời gian. Kết quả là ở đầu ra thu được các hệ số Wavelet C là một hàm theo các hệ số a và b. Nhân mỗi hệ số với các Wavelet theo tỷ lệ và dịch mức tương ứng lại hợp thành tín hiệu nguyên thủy.
b. Định tỷ lệ và dịch chuyển Wavelet
- Hệ số tỷ lệ càng nhỏ thì Wavelet càng co lại nhiều, chi tiết thay đổi nhanh do đĩ cĩ khả năng biểu diễn các tín hiệu cĩ thành phần tần số cao hơn.
- Hệ số tỷ lệ càng lớn thì Wavelet càng dãn ra, chi tiết thay đổi chậm hơn, thơ hơn do đĩ cĩ thể biểu diễn các tín hiệu cĩ thành phần tần số thấp hơn.
Hình 2.8 cho thấy sĩng Sin ứng với các hệ số tỷ lệ a khác nhau:
Hình 2.8.Sự co dãn sĩng Sin
Dịch chuyển: dịch chuyển một Wavelet là làm trễ hoặc sớm sự bắt đầu của nĩ đi Kmẫu. Dịch chuyển ψ t( ) đi k mẫu ta được ψ ( )t k- .
Hình 2.9.Dịch chuyển Wavelet [6]
c. Các bước thực hiện biến đổi Wavelet liên tục
Biến đổi Wavelet liên tục là tổng trên suốt khoảng thời gian của tín hiệu được nhân bởi phiên bản tỷ lệ và dịch của Wavelet [4]. Quá trình này tạo ra các hệ số Wavelet là hàm của tỷ lệ và vị trí. CWT gồm cĩ 5 bước:
0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1
- Bước 1: Lấy một Wavelet và so sánh nĩ với khởi đầu của một tín hiệu nguyên thủy.
- Bước 2: Tính tốn giá trị C là đại lượng đặc trưng cho mức độ tương quan giữa Wavelet với đoạn tín hiệu đang so sánh. Hệ số C càng cao chứng tỏ Wavelet giống tín hiệu càng nhiều. Kết quả phụ thuộc vào loại Wavelet được chọn.
Hình 2.10.Bước 1 và 2 của CWT [6]
- Bước 3: Dịch chuyển Wavelet sang phải rồi thực hiện lại bước 1 và 2, tiếp tục thực hiện cho đến khi bao trùm tồn bộ tín hiệu.
Hình 2.11.Bước 3 của CWT [6]
- Bước 4: Co giãn Wavelet và lặp lại từng bước từ 1 đến 3.
Hình 2.12.Bước 4 của CWT [6]
- Bước 5: Lặp lại từ bước 1 đến bước 4 cho tất cả tỷ lệ
Sau khi thực hiện biến đổi Wavelet liên tục sẽ thu được một tập các hệ số được tạo ra bởi những tỷ lệ khác nhau (co giãn) ứng với những đoạn tín hiệu khác nhau. Các hệ số tạo thành kết quả hồi quy của tín hiệu nguyên thủy thực hiện trên các Wavelet. Như vậy, biến đổi Wavelet liên tục được thực hiện ở mọi tỷ lệ ứng với
Nếu biến đổi Fourier bị hạn chế bởi nguyên lý bất định Heisenberge ở chỗ là khơng thể đạt được độ phân giải tốt cả trong miền thời gian lẫn trong miền tần số thì với biến đổi Wavelet cĩ thể đáp ứng được trong miền thời gian – tần số. Biến đổi Wavelet đưa ra một giải pháp rất linh hoạt như sau: nĩ thực hiện ở mọi tỷ lệ ứng với tồn bộ tín hiệu, tỷ lệ cao ứng với tần số thấp, tỷ lệ thấp ứng với tần số cao; thành phần tín hiệu tần số cao sẽ cĩ độ phân giải tốt hơn trong miền thời gian cịn thành phần tín hiệu tần số thấp sẽ phân giải tốt hơn trong miền tần số [6].
Hình 2.13.Mặt phẳng thời gian – tần số với biến đổi Wavelet (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong hình 2.13 thể hiện rõ điều đĩ: ở thành phần tần số cao, bề rộng ở mặt phẳng tần số lớn trong khi bề rộng ở mặt phẳng thời gian lại rất nhỏ, điều đĩ cĩ nghĩa là ở thành phần tần số cao thì độ phân giải tốt hơn ở miền thời gian và độ phân giải kém ở miền tần số. Ngược lại, ở thành phần tần số thấp thì bề rộng mặt phẳng tần số nhỏ trong khi bề rộng măt phẳng thời gian lớn, hay nĩi cách khác đi là độ phân giải tốt trong miền tần số và độ phân giải thấp trong miền thời gian. Như vậy, trong trường hợp này nguyên lý bất định vẫn được đảm bảo.