2.1.2.1. Biến đổi Fourier
Thế kỉ 19, nhà toán học người Pháp J.Fourier đã chứng minh rằng một hàm tuần hoàn bất kỳ có thể biễu diễn như là một tổng xác định của các hàm mũ phức. Nhiều năm sau, Fourier đã khám phá tính chất đặc biệt của các hàm, đầu tiên ý tưởng của ông đã được tổng quát hoá với các hàm không tuần hoàn, và sau đó cho các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn rời rạc theo thời gian. Sau đó tổng kết này trở thành một công cụ hoàn toàn phù hợp cho các tính toán máy tính. Năm
1965, một thuật toán mới được gọi là biến đổi Fourier nhanh FFT (Fast Fourier
Transform) được phát triển và biến đổi FT (Fourier Transform) trở thành một công cụ phổ biến.
Định nghĩa biến đổi Fourier:
F(w) = f te jwtdt ) ( dw e w F t f dt e t f w F iwt jwt ) ( ) ( ) ( ) ( (2.1)
Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích
phân từ - tới +. Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay
đổi theo thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary). Điều đó có nghĩa là
biến đổi Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần tần số nào đó, tuy nhiên thông tin này độc lập với thời điểm xuất hiện thành phần phổ đó.
Để khắc phục vấn đề này, biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính được gọi là
biến đổi Fourier nhanhngắn STFT (Short Time Fourier Transform) được đưa ra.
Trong biến đổi STFT, tín hiệu được chia thành các đoạn đủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên
từng đoạn được phân chia có thể coi là dừng (stationary). Với mục đích này, hàm
Formatted: Condensed by 0,1 pt
Formatted: Condensed by 0,1 pt
Formatted: Condensed by 0,1 pt
Formatted: Condensed by 0,1 pt
Formatted: Condensed by 0,1 pt
Formatted: Font: 13 pt, Italic
Field Code Changed
Field Code Changed
Formatted: Condensed by 0,1 pt
Formatted: Condensed by 0,1 pt
Formatted: Condensed by 0,1 pt
Formatted: Condensed by 0,1 pt
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt, Position: Vertical: 0,01 cm, Relative to: Paragraph, Height: Exactly 0,53 cm
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt cửa sổ được lựa chọn. Độ rộng của cửa sổ phải bằng với đoạn tín hiệu mà giả thiết
về sự dừng của tín hiệu là phù hợp Định nghĩa STFT: t jwt dt e l t w t f w l STFT(, ) [ ( ) *( )] (2.2) với w là hàm cửa sổ.
Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ được sử dụng. Cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại.
Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số-thời gian (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vấn đề với biến đổi STFT là sự chính xác của độ phân giải thời gian và tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg. Các phương trình cơ bản không thể đưa ra biểu diễn thời gian-tần số chính xác của tín hiệu, ví dụ không thể biết được các thành phần phổ tồn tại ở khoảng thời gian nào, và không thể biết chắc chắn khoảng thời nào trong đó dải tần số chắc chắn tồn tại.
Do vậy, vấn đề là chọn hàm cửa sổ và sử dụng cửa sổ này cho toàn bộ phân tích, tuy nhiên việc lựa chọn hàm cửa sổ phụ thuộc ứng dụng. Nếu như các thành phần tần số tách biệt với nhau trong tín hiệu nguyên bản, thì chúng ta có thể hy sinh độ phân giải tần số và do vậy có độ phân giải thời gian tốt. Tuy nhiên, trong trường hợp các thành phần phổ không tách biệt với nhau thì việc lựa chọn cửa sổ phù hợp là khó khăn.
Field Code Changed
Field Code Changed
Formatted: Font color: Auto
Formatted: Level 5
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt, Position: Vertical: 0,01 cm, Relative to: Paragraph, Height: Exactly 0,53 cm
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt Mặc dù vấn đề độ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật lý
(nguyên lý bất định Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến đổi nào, tuy nhiên người ta có thể khắc phục vấn đề này khi phân tích tín hiệu bất kỳ nhờ sử
dụng phép tính gần đúng luân phiên được gọi là biến đổi Wavelet (WT_Wavelet
Transform). Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau. Trong biến đổi Wavelet mỗi thành phần phổ không được phân tích ngang bằng như trong trường hợp biến đổi STFT.
Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số. Trục hoành biểu diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số
Biến đổi Wavelet T được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ
phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp. Phép tính gần đúng này có ý nghĩa đặc biệt khi tín hiệu gốc có các thành phần tần số cao với khoảng thời gian tồn tại ngắn và các thành phần tần số thấp với khoảng thời gian tồn tại dài, đó là trường hợp của hầu hết các
tín hiệu y sinh: tín hiệu điện não đồ EEG (electroencephalogram), điện cơ đồ EMG
(electromyogram), và điện tâm đồ ECG (electrocardiogram).
2.1.2.2. Khái niệm biến đổi Wavelet
Field Code Changed
Formatted: Font color: Auto
Formatted: Level 5
Formatted: Indent: Left: 0 cm, First line: 0,95 cm
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt, Position: Vertical: 0,01 cm, Relative to: Paragraph, Height: Exactly 0,53 cm
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa (Daubechies92):
C(a,b)f(t)*a,b(t)dt (2.3) với a b t a t b a 2 1 , () (2.4)
lLà hàm cửa sổ còn được gọi là Wavelet mẹ (mother wavelet), a là tỷ lệ và b là
khoảng dịch, ψ*(t) là liên hợp phức của hàm Wavelet ψ(t). Thuật ngữ Wavelet nghĩa là sóng nhỏ. Hàm Wavelet gốc là nguyên mẫu đầu tiên để tạo nên các hàm cửa sổ.
Thuật ngữ dịch (translation) liên quan với vị trí của cửa sổ, như là cửa sổ được dịch chuyển trên tín hiệu. Thuật ngữ này rõ ràng tương ứng với thông tin thời gian trong miền khai triển (transform domain). Tuy nhiên, chúng ta không có tham số tần số như trong biến đổi STFT. Thay thế cho tham số tần số, chúng ta có khái niệm tỷ lệ, là phép toán mở rộng hoặc nén tín hiệu. Các tỷ lệ nhỏ tương ứng với mở rộng hay phân giải các tín hiệu và các tỷ lệ lớn tương ứng để nén tín hiệu. Việc lấy tỷ lệ Wavelet mẹ cho phép so sánh và rút ra đặc điểm chính xác của tín hiệu. Các Wavelet có tỷ lệ bé có khả năng trích được phần biến thiên nhanh, có tần số cao (phần tinh), còn khi tỷ lệ lớn trích được phần biến thiên chậm, tần số thấp (phần thô) của tín hiệu.
Thuật toán CWT có thể được mô tả như sau – xem hình 2.3: Chọn Wavelet và so sánh với phần đầu của tín hiệu nguyên bản.
Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức độ tương quan giữa wavelet và phần của tín
hiệu. Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn. Chú ý kết quả sẽ phụ thuộc vào hình dạng của Wavelet đã chọn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao phủ toàn bộ tín hiệu.
Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 đến bước 3.
Field Code Changed
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt, Position: Vertical: 0,01 cm, Relative to: Paragraph, Height: Exactly 0,53 cm
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt
Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.3)
2.1.2.3. Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là phép
toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log2n độ dài thay đổi, điền
đầy và biến đổi chúng thành các vectơ dữ liệu với độ dài 2n.
Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và DWT là tương tự nhau. Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận chuyển vị của ma trận nguyên gốc. Và kết quả là, cả hai biến đổi có thể xem như là một phép quay không gian hàm tới một miền khác. Với FFT, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở đó là sin và cosin. Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm các hàm cơ
sở phức tạp hơn được gọi là các Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet) hay
Wavelet phân tích (analyzing wavelet).
Cả hai biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được phân bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử dụng để phân biệt các tần số và tính phân bố công suất.
2.1.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier
Điểm khác biệt đáng chú ý nhất giữa hai dạng biến đổi Wavelet và Fourier là các hàm Wavelet riêng được khu biệt trong không gian, trong khi các hàm sin và cosin của biến đổi Fourier thì không. Đặc điểm khu biệt, cùng với sự khu biệt các wavelet theo tần số, làm cho các hàm và các phép toán sử dụng Wavelet được rải
rác ra “sparse” khi biến đổi sang miền Wavelet. Sự rải rác này, dẫn đến một số ứng
dụng hữu ích như là nén dữ liệu, tách các điểm đặc trưng của ảnh, và khử nhiễu.
Formatted: Centered
Field Code Changed
Formatted: Font color: Auto
Formatted: Level 5, Indent: Left: 0 cm, First line: 0,95 cm
Formatted: Font: 13 pt, Italic
Formatted: Normal, Indent: Left: 0 cm, First line: 0,95 cm, Line spacing: 1,5 lines
Formatted: Indent: Left: 0 cm, First line: 0,95 cm
Formatted: Font: 13 pt, Italic
Formatted: Normal, Indent: Left: 0 cm, First line: 0,95 cm, Line spacing: 1,5 lines
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt, Position: Vertical: 0,01 cm, Relative to: Paragraph, Height: Exactly 0,53 cm
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt Một phương pháp để xem xét sự khác biệt về độ phân giải thời gian-tần số
giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet là xem sự hội tụ hàm cơ sở trên mặt phẳng thời gian-tần số. Vì một cửa sổ duy nhất được sử dụng với mọi tần số trong FT, độ phân giải của phân tích là giống nhau ở mọi khu vực trên mặt phẳng thời gian-tần số. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số
Một ưu điểm của biến đổi Wavelet là các cửa sổ có thể thay đổi. Để tách các điểm gián đoạn của tín hiệu, người ta có các hàm cơ sở rất ngắn và cùng thời điểm đó để có được các phân tích tần số chi tiết người ta cần các hàm cơ sở rất dài.
Formatted: Centered, Indent: Left: 0 cm, First line: 0 cm
Formatted: Font: 17 pt
Formatted: Indent: Left: 0 cm, First line: 0,95 cm
Formatted: Centered
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt, Position: Vertical: 0,01 cm, Relative to: Paragraph, Height: Exactly 0,53 cm
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt
Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số
Một điểm cần ghi nhớ rằng các biến đổi Wavelet không chỉ gồm một tập hợp đơn của các hàm cơ sở như biến đổi Fourier với hàm sin và cosin. Thay vào đó, các biến đổi Wavelet có một tập hợp vô hạn của các hàm cơ sở khả năng. Do vậy, phân tích Wavelet đưa ra một phương pháp phân tích trực tiếp, mang lại kết quả tốt hơn so với các phương pháp thời gian- tần số truyền thống như biến đổi Fourier