Trong hệ thống truyền tin, việc truyền tín hiệu được điều chế qua môi kênh truyền có nhiễu, biên độ, thời gian thay đổi thì bên thu làm sao khôi phục lại tín hiệu gốc ban đầu là một bài toán đặt ra. Khử nhiễu tín hiệu là một vấn đề được các nhà nghiên cứu quan tâm cả về phương diện lý thuyết và thực tiễn. Việc khử nhiễu đặt ra vấn đề là làm thế nào khôi phục tín hiệu nguyên bản từ dữ liệu bị nhiễu với mong
Formatted: Font: 13 pt, Condensed by 0,2 pt
Formatted: Justified, Line spacing: 1,5 lines
Formatted: Font: 13 pt
Formatted: Left, Indent: Left: 0 cm, First line: 0 cm, Line spacing: single
Formatted: Line spacing: single
Formatted: Level 2
Formatted: Justified, Level 2, Indent: Left: 0 cm, First line: 0,95 cm, Tab stops: 1,88 cm, Left + 2,2 cm, Left + 12,71 cm, Left
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt, Position: Vertical: 0,01 cm, Relative to: Paragraph, Height: Exactly 0,53 cm
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt muốn khôi phục tín hiệu bị nhiễu càng giống với tín hiệu nguyên bản càng tốt mà vẫn
giữ lại được những đặc điểm quan trọng của tín hiệu. Có nhiều thuật toán khác nhau được công bố, mỗi thuật toán có những ưu và nhược điểm riêng. Những phương pháp
khử nhiễu truyền thống sử dụng phương pháp lọc tuyến tính như lọc Wiener (Wiener
filtering), lọc phù hợp (Matched filtering), lọc thích nghi (Adaptive filtering),… Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ. Các hàm Wavelet thoả mãn các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm khác.Ý tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đã tồn tại từ đầu thế kỉ 18 khi Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để biểu diễn một hàm khác. Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ được sử dụng để phân tích dữ liệu theo một cách đặc biệt. Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ lệ khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau. Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ lớn, chúng ta sẽ nhận được các đặc điểm chung. Tương tự, nếu chúng ta quan sát dữ liệu với một cửa sổ nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn. Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi
là Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet). Phân
tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ,
trong khi phân tích tần số được thực hiện với dạng phân giải ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ. Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet), các tính toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng. Và nếu như chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng nào đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc. Mã
hoá rời rạc (sparse coding) làm cho Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong
lĩnh vực nén dữ liệu.
Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,
âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals,
turbulence, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt, Position: Vertical: 0,01 cm, Relative to: Paragraph, Height: Exactly 0,53 cm
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt Lý thuyết về biến đổi Wavelet hiện đại chính thức được phát triển khoảng hai
mươi năm gần đây, tuy nhiên nguồn gốc ý tưởng về biến đổi Wavelet đã xuất hiện từ trước đó rất lâu. Nguồn gốc của lý thuyết Wavelet hiện đại bắt nguồn từ cuối những năm 1970 và 1980. Ban đầu J. Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi Fourier
ngắnnhanh STFT (Short Time Fourier Transform), đó là tăng cường độ phân giải thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng độ phân giải tần số cho các thành phần tần số thấp hơn. Tuy nhiên với biến đổi STFT, độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, khi độ phân giải tần số đạt được tốt thì phải hy sinh độ phân giải thời gian và ngược lại muốn có độ phân giải thời gian tốt thì độ phân giải tần số sẽ kém đi. Để giải quyết vấn đề này, J.Morlet đã đưa ra ý tưởng về các hàm biến đổi: xây dựng hàm cửa sổ sóng cosin và áp cửa sổ này lên trục thời gian để thu được hàm tần số cao hơn, hay trải hàm này ra để thu được hàm tần số thấp hơn. Để theo dõi toàn bộ thay đổi của tín hiệu theo thời gian, các hàm này được dịch theo thời gian.
Phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng: tín hiệu được khai triển trên một tập
hợp của các hàm được phân giải hay nén (hàm Wavelet mẹ _mother Wavelet).
a b t (1.1)
Trong đó a là tỷ lệ (scale), đây là yếu tố quan trọng cho phép thay đổi độ phân
giải thời gian và độ phân giải tần số khi phân tích tín hiệu. Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là Wavelet phân tích (analyzing Wavelet) hay Wavelet mẹ (mother Wavelet). Phân tích thời gian được
thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong khi phân tích (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
tần số được thực hiện với dạng phân giải ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ. Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả năng ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt, Position: Vertical: 0,01 cm, Relative to: Paragraph, Height: Exactly 0,53 cm
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ, quang học, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng
thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân từng phần.
2.1.1.1 Các công cụ phân tích thời gian - tần số
Phân tích thời gian-tần số truyền thống được thực hiện nhờ biến đổi Fourier. Các phương pháp phân tích thời gian-tần số phổ biến nhất hiện nay là biến đổi STFT và biến đổi Wavelet.
Biến đổi STFT khắc phục được những hạn chế của biến đổi Fourier. Tín hiệu
(t) ban đầu được nhân với hàm cửa sổwt, sau đó thực hiện biến đổi Fourier
truyền thống. Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ: cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại. Một ví dụ điển hình của hàm cửa sổ Gaussian được đưa ra bởi Gabor 1946.
Biến đổi Wavelet liên tục sử dụng sự dịch (shift) và tỷ lệ (scale) (phân giải ra
hay co vào) của hàm nguyên mẫu đầu tiên t . Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu
thành các tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau. Biến đổi WaveletT
được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp.
2.1.1.2 Độ phân giải thời gian và tần số
Trong bất kỳ ứng dụng xử lý tín hiệu nào, độ phân giải thời gian-tần số là một vấn đề quan trọng cần quan tâm. Các phương pháp miền tín hiệu yêu cầu một mức định vị cao theo thời gian trong khi các phương pháp miền tần số yêu cầu mức định vị cao theo tần số. Điều đó dẫn đến vấn đề thoả hiệp giữa độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số.
Khái niệm về sự định vị của hàm cơ bản thường dựa trên cơ sở một diện tích bao phủ nào đó trong mặt phẳng thời gian-tần số của hàm đó. Diện tích cơ bản trong
mặt phẳng được gọi là ‘ô ngói’ (tile). Trong trường hợp lý tưởng, ô ngói là một cửa
sổ hình chữ nhật nhỏ tập trung trong mặt phẳng thời gian-tần số.
Formatted: Font: 13 pt, Italic
Field Code Changed
Field Code Changed
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt, Position: Vertical: 0,01 cm, Relative to: Paragraph, Height: Exactly 0,53 cm
Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt Để tập trung ô ngói trong mặt phẳng thời gian-tần số, các biến đổi sử dụng cho
biểu diễn thời gian-tần số sử dụng các hàm cơ bản như là dịch theo thời gian và lấy tỷ
lệ. Rõ ràng dịch theo thời gian bởi dẫn đến sự dịch ô ngói theo qua trục thời gian.