Phân tích mạch điện hình 3.3, tách một nút bất kỳ ra khỏi mạch:
Hình 3.4: Một nút bất kỳ trong mạch điện tương đương So sánh điện áp giữa nút i – 1 và nút i ta có: ∑ Trong đó: : Tự cảm của bánh dây thứ i
Sử dụng véc-tơ ma trận dòng điện I(12x1), véc-tơ điện áp U(12x1), và ma trận điện cảm L(12x12) có đường chéo là các thành phần tự cảm, còn lại lần lượt là hỗ cảm giữa i và j. Đẳng thức (3.1) có thể được viết lại dưới dạng ma trận như sau:
̂ ̇
B là ma trận vuông, trong đó hàng đặc trưng cho các phần tử, cột đặc trưng cho các nút, và .
Áp dụng định luật Kirchoff cho nút i: Đẳng thức (3.3) được viết lại dưới dạng ma trận:
̂ ̇ ̂ Từ (3.2) có: ̇ ̂ Đạo hàm (3.4): ̂ ̈ ̂ ̇ ̇ Thay (3.5) vào (3.6) có: ̂ ̈ ̂ ̇ ̂ Đặt: ̂ ̂
Cuối cùng phương trình tổng quát của mạch điện tương đương trở thành: ̂ ̂̈ ̂ ̂̇ ̂ ̂
Trong đó:
̂: Ma trận điện dung nút, bao gồm cả thông số đầu vào
̂: Ma trận điện dẫn nút, bao gồm cả thông số đầu vào
̂: Ma trận điện cảm nút nghịch đảo, bao gồm cả thông số đầu vào
Quan hệ giữa các ma trận nút và ma trận nhánh như sau: ̂ ̂ ̂
Trong đó , và là các ma trận liên thuộc (ma trận giao hỗ) giữa nút và nhánh đối với điện dung, điện cảm và điện dẫn. Và , , lần lượt là các ma trận điện dung, điện cảm, điện dẫn nhánh. Số lượng các phương trình trong (3.3) sẽ được giản lược bằng cách tách nút đầu vào ra, bởi vì điện áp nút đầu vào đã được xác định, cụ thể ở bài toán này nút đầu vào là điểm đầu của bối dây, và điện áp đặt vào là điện áp xung tiêu chuẩn 1,2/50. Phương trình sau khi được giản lược như sau:
̈ ̇ ̈ ̇ Trong đó:
: Ma trận điện dung nút, không bao gồm nút đầu vào
G: Ma trận điện dẫn nút, không bao gồm nút đầu vào
: Ma trận điện cảm nút nghịch đảo, không bao gồm nút đầu vào
v(t): Véc-tơ điện áp tại các nút, không bao gồm nút đầu vào
x(t): Điện áp đặt tại đầu cực (sóng 1,2/50)
: cột 1 của các ma trận ̂ ̂ ̂ sau khi bỏ đi hàng đầu tiên