Để có góc nhìn tổng quá về dữ liệu được sử dụng, nghiên cứu này tiến hành một số tính toán để tóm tắt các đặc tính cơ bản của các chuỗi thời gian tài chính. Cụ thể:
Trung bình mẫu: là một đại lượng mô tả thống kê, được tính ra bằng cách lấy tổng giá trị của toàn bộ các quan sát trong tập dữ liệu chia cho số lượng các quan sát của tập dữ liệu.
Độ lệch chuẩn: là một đại lượng thống kê mô tả dùng để đo mức độ phân tán của một tập dữ liệu đã được lập thành bảng tần số. Có thể tính độ lệch chuẩn bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai.
Độ lệch (Skewness) và Độ nhọn (Kurtosis ): là các giá trị cho ta hình dung về hình dáng phân phối của dữ liệu.
Giá trị Skewness đo lường độ lệch của dữ liệu, theo đó:
Skewness = 0: phân phối cân xứng.
Skewness > 0: phân phối lệch phải.
Skewness < 0: phân phối lệch trái.
Còn Kurtosis đo lường mức độ tập trung tương đối xung quanh trung tâm của nó trong mối quan hệ so sánh với hai đuôi. Tức là Kurtosis đo lường độ rộng của đuôi phân phối và mức độ nhọn của trung bình của chuỗi. Một phân phối chuẩn được xác định có hệ số Kurtosis = 3. Cụ thể:
Kurtosis =3: phân phối tập trung ở mức độ bình thường.
Kurtosis > 3: phân phối tập trung cao hơn mức độ bình thường. Hình dạng của đa giác tần số trong khá cao với hai đuôi hẹp.
Kurtosis < 3: phân phối tập trung cao hơn mức độ bình thường. Hình dạng cảu đa giác tần số tù với hai đuôi dài.
Còn độ nhọn vượt trội được định nghĩa là hệ số độ nhọn – 3; một phân phối chuẩn sẽ có hệ số của độ nhọn vượt trội bằng 0. Một phân phối chuẩn được gọi là mesokurtic.
Gọi các quan sát trong chuỗi dữ liệu là 𝑦𝑖 và phương sai là 𝜎2, thì độ lệch và độ nhọn có thể được tính theo công thức dưới đây:
𝑠𝑘𝑒𝑤 = 1 𝑁 − 1∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)3 (𝜎2)3/2 và 𝑘𝑢𝑟𝑡 = 1 𝑁 − 1∑(𝑦𝑖− 𝑦̅)4 (𝜎2)2
Phương pháp thống kê Jarque-Bera: là một trong những kiểm định thường được sử dụng để kiểm tra phân phối chuẩn của dữ liệu. Jarque-Bera test (BJ) sử dụng đặc tính của một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn: toàn bộ phân phối được biểu thị bằng hai moment đầu tiên là trung bình và phương sai (moment thứ ba và thứ tư là độ lệch và độ nhọn). Một phân phối chuẩn không xiên và được xác định có hệ số độ nhọn là 3. Khi đó, hệ số của độ nhọn vượt trội = hệ số độ nhọn – 3; do đó, một phân phố chuẩn sẽ có một hệ số của độ nhọn vượt trội = 0. Bera và Jarque (1981) đã trình bày các ý tưởng này bằng việc kiểm định xem liệu hệ số của độ lệch và độ nhọn có bằng 0 hay không.
Đặt phần sai số là 𝑢 và phương sai sai số là 𝜎2, hệ số độ lệch và độ nhọn có thể được diễn đạt bằng công thức dưới đây:
𝑏1 = 𝐸[𝑢
3]
(𝜎2)3/2 và 𝑏2 =𝐸[𝑢
4] (𝜎2)2
Độ nhọn của phân phối chuẩn là 3, như vậy độ nhọn vượt trội (𝑏2− 3) bằng 0. Thống kê BJ cho bởi hàm dưới đây:
𝑊 = 𝑇 [𝑏1
2
6 +
(𝑏2− 3)2 24 ]
Trong phương trình trên 𝑇 là kích cỡ mẫu. Thống kê kiểm định tiệm cận với 𝜒2(2)