2.3.1 Giới thiệu chung
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn là phƣơng pháp số tổng quát và hữu hiệu cho ra lời giải số nhiều lớp bài toán khác nhau. Để giải các bài toán đó phƣơng pháp phần tử hữu hạn mô tả bài toán bởi các phƣơng trình vi phân riêng phần cùng với các điều kiện biên cụ thể.
Cơ sở của phƣơng pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài toán (nhiệt độ, chuyển vị, ứng suất, biến dạng…). Các miền V liên tục đƣợc chia thành nhiều miền con ve (đƣợc gọi là các phần tử hữu hạn) có kích thƣớc, bậc tự do hữu hạn. Các miền này đƣợc liên kết với nhau tại các điểm định trƣớc trên biên của phần tử và đƣợc gọi là nút (node). Trên miền con này, dạng biến phân tƣơng đƣơng với bài toán đƣợc giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoả mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử.
Về mặt toán học, phƣơng pháp phần tử hữu hạn đƣợc sử dụng để giải gần đúng bài toán phƣơng trình vi phân từng phần và phƣơng trình tích phân, ví dụ nhƣ
γ
M
28
phƣơng trình truyền nhiệt. Lời giải gần đúng đƣợc đƣa ra dựa trên việc loại bỏ phƣơng trình vi phân một cách hoàn toàn (những vấn đề về trạng thái ổn định), hoặc chuyển phƣơng trình vi phân từng phần sang một phƣơng trình vi phân thƣờng tƣơng đƣơng mà sau đó đƣợc giải bằng cách sử dụng phƣơng pháp sai phân hữu hạn, …
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định V của nó mà chỉ trong những miền con vethuộc miền xác định của hàm. Các hàm xấp xỉ này đƣợc biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này đƣợc gọi là các bậc tự do của phần tử và đƣợc xem là ẩn số cần tìm của bài toán.
Trong việc giải phƣơng trình vi phân thƣờng, thách thức đầu tiên là tạo ra một phƣơng trình xấp xỉ với phƣơng trình cần đƣợc nghiên cứu, nhƣng đó là ổn định số học (numerically stable), nghĩa là những lỗi trong việc nhập dữ liệu và tính toán trung gian không chồng chất và làm cho kết quả xuất ra trở nên vô nghĩa. Có rất nhiều cách để làm việc này, tất cả đều có những ƣu điểm và nhƣợc điểm. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn là sự lựa chọn tốt cho việc giải phƣơng trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp hoặc khi những yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong toàn miền. Ví dụ, trong việc mô phỏng thời tiết trên Trái Đất, việc dự báo chính xác thời tiết trên đất liền quan trọng hơn là dự báo thời tiết cho vùng biển rộng, điều này có thể thực hiện đƣợc bằng việc sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn.
Phƣơng pháp Phần tử hữu hạn nói chung có rất nhiều ứng dựng, ví dụ nhƣ trong vật lý học để giải các phƣơng trình sóng, nhƣ trong vật lý plasma, các bài toán về truyền nhiệt, động lực học chất lỏng, trƣờng điện từ. Nhƣng thƣờng đƣợc dùng nhất là đƣợc ứng dụng để giải các bài toán cơ học (cơ học kết cấu, cơ học môi trƣờng liên tục) để xác định trƣờng ứng suất và biến dạng của vật thể.