Giả sử A2j là phép toán xấp xỉ một tín hiệu ở độ phân giải 2j. Chúng ta giả sử tín hiệu ban đầu f(x) là đo đƣợc và có năng lƣợng xác định: f(x) L2(R). Sau đây là những tính chất mà chúng ta mong muôn phép toán A2jphải thỏa mãn:
1) A2j là phép toán tuyến tính. Nếu A2j f(x) là xấp xỉ của hàm f(x) tại độ phân giải 2j
thì A2j f(x) sẽ không thay đổi nếu ta xấp xỉ nó một lần nữa tại độ phân giải 2j
. Tính chất này đƣợc viết nhƣ sau: A2j o A2j = A2j. Vì vậy, phép toán A2j là phép chiếu trên không gian vector v2j L2(R). Có thể xem không gian vector v2j là tập hợp tất cả những xấp xỉ có thể có của các hàm trong L2(R) ở độ phân giải 2j
.
2) Trong tất cả các hàm đƣợc xấp xỉ tại độ phân giải 2j, A2j f(x) là hàm giống với f(x) nhất.
2 2
( ) j,|| ( ) ( ) || || j ( ) ( ) ||
g x V g x f x A f x f x
(2.2) Vì vậy, phép toán A2jlà phép chiếu vuông góc trong không gian vector v2j. 3) Xấp xỉ của một tín hiệu tại độ phân giải 2J+1 chứa đựng tất cả những thông
chất nhân quả. Vì A2jlà phép chiếu trên v2j, tính chất này tƣơng đƣơng
2 2( 1)
j Z, V j V j
(2.3)
4) Một phép toán xấp xỉ giống nhau tại tất cả các độ phân giải. Các không gian của các hàm xấp xỉ có thể xuất phát từ không gian của các hàm xấp xỉ khác bằng cách giãn nở các hàm xấp xỉ theo tỷ lệ độ phân giải của chúng.
1
2 2
j Z, f(x) V j f(2x) V j
(2.4)
5) Xấp xỉ A2jf(x) của tín hiệu f(x) đƣợc mô tả bởi 2jmẫu trên mỗi đơn vị chiều dài. Khi f(x) đƣợc dịch chuyển bởi một chiều dài tỷ lệ với 2-j, thì A2j f(x) cũng đƣợc dịch chuyển một lƣợng nhƣ vậy và đƣợc Biểu diễn bởi cùng số mẫu nhƣ trƣớc khi dịch chuyển. Phép toán dịch chuyển có những tính chất sau:
Đặc điểm rời rạc:
Tồn tại một phép đẳng cấu I từ V1 vào I2(Z).. (2.5)
Dịch chuyển của xấp xỉ:
k Z, A f x1 k( )A f x k1 ( ), f xk( ) f x k( _) (2.6)
Dịch chuyển các mẫu:
I(A1 f x( ))(i i Z) I A f( 1 k(x))(i k i Z ) (2.7) 6) Khi tính toán một xấp xỉ của f(x) tại độ phân giải 2j, một số thông tin về
f(x) bị mất. Tuy nhiên, khi độ phân giải tăng đến +∞ tín hiệu xấp xỉ sẽ hội tụ về tín hiệu ban đầu. Ngƣợc lại, khi độ phân giải giảm xuống đến 0, tín hiệu xấp xỉ càng lúc càng bị mất thông tin và hội tụ về 0.
Bởi vì các tín hiệu xấp xỉ tại độ phân giải 2j là các hình chiếu vuông góc trên không gian v2j, tính chất trên có thể đƣợc viết:
2 2 lim j j j V jU V phủ đầy L2(R) (2.8) và 2 2 lim j j 0 j V jV V (2.9) Ta gọi một tập hợp bất kỳ các không gian vector (V2j)J Z thỏa mãn các tính
chất (2.2)-(2.9) là một xấp xỉ đa phân giải của L2
(R). Phép toán A2j thỏa mãn các tính chất (2.2)-(2.7) tạo ra một xấp xỉ của một hàm bất kỳ thuộc L2(R) ở độ phân giải 2j. Chúng ta xem xét ví dụ một xấp xỉ đa phân giải đơn giản của L2
(R).
Ví dụ: Giả sử V1 là không gian vector tất cả các hàm thuộc L2(R) bằng hằng số trong mỗi khoảng [k, k+1], với mọi k Z. Từ phƣơng trình (2.4), ta lây v2jlà không gian vector tất cả các hàm thuộc L2(R) bằng hằng số trong mỗi khoảng [k2-j
,(k+l)2-j ], với mọi k Z. Điều kiện (2.3) dễ dàng đƣợc thỏa mãn. Ta định nghĩa một phép đẳng cấu I thỏa mãn các tính chất (2.5), (2.6) và (2.7) bằng cách kết hợp mỗi hàm f(x) V1 một chuỗi (k)k Z sao cho ∝k bằng giá trị của f(x) trong khoảng [k, k+1]. Ta có 2j jU V phủ đầy trên L2 (R) và 2j 0 j V
. Vì vậy chuỗi các không gian vector 2
(V j)J Z là một xấp xỉ đa phân giải của L2(R).