Phân tích gói Wavelet

Phân tích gói Wavelet (WPA) là sự khái quát hoá phân tích Wavelet cho những thủ tục phân tích phức tạp hơn. Trong thủ tục phân tích Wavelet trực giao, bƣớc chung là phân chia các hệ số xấp xỉ thành hai phần. Sau khi phân chia chúng ta thu đƣợc vectơ của các hệ số xấp xỉ và vectơ của các hệ số chi tiết, cả hai ở tỷ lệ thô. Thông tin bị mất giữa hai bƣớc xấp xỉ kế tiếp đƣợc giữ lại trong các hệ số chi tiết.

Bƣớc tiếp theo bao gồm phân chia vectơ hệ số xấp xỉ mới, các chi tiết kế tiếp không đƣợc phân tích lại. Theo trạng thái gói Wavelet tƣơng ứng, mọi vectơ hệ số chi tiết cũng đƣợc phân tích thành hai phần sử dụng cùng phép tính gần đúng nhƣ trong sự phân chia vectơ xấp xỉ. Điều đó dẫn đến phân tích phức tạp, cây nhị phân đầy đủ đƣợc đƣa ra nhƣ trong hình 3.12. Sự so sánh giữa biểu diến trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ của Wavelet và gói Wavelet đƣợc mô tả trong hình 3.13.

Các hàm cơ bản w với n n ỉ số tần số danh định:

 x h wn x k Z k k     2 2 wn (1.31)          Z k n k n x g w x k w 1 2 2 n0,1,2... (1.32)

Hình 1.4 Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử

Hàm ban đầu w0 chỉ là hàm tỷ lệ, cũng nhƣ vậy w1 . Hàm phân tích đƣợc gọi là nguyên tử gói Wavelet (wavelet packet atom) đƣợc cho trong trƣờng hợp trực giao:

 x  j wn jxk

2 2

wj,k,n /2 (1.33)

Hình 1.5 So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet và gói Wavelet

1.2.4.1 Nguyên tử gói (Wavelet Packets Atoms)

Ví dụ của nguyên tử gói Wavelet đƣợc sinh ra từ Wavelet Daubechies 2 đƣợc thể hiện trong hình 1.6.

Trong biểu diễn Wavelet, k biễu diễn tham số thời gian và j là tham số tỷ lệ. Còn tham số n, nhƣ trong hình 1.6 wn x “dao động” xấp xỉ n lần. Do vậy với các

giá trị cố định của j và k, wj ,k,n phân tích thay đổi của tín hiệu quanh vị trí j k

tỷ lệ 2 và ở tần số thay đổi cho các giá trị có thể chấp nhận đƣợc khác nhau của -j tham số n.

Cũng nhƣ vậy, chúng ta có thể tính toán sự phân tích hàm liên tục u(t) sử dụng thuật toán DWT nhanh.

Ví dụ với x(k):         R Z k dt k t t u k x  ,            R s x k dx GHGxk w t u 2 3/2 2 3 (1.34) Ở đây tần số danh định là 5 và chỉ số tỷ lệ 3. Các tích trong của biểu thức (1.34) sẽ đƣợc tìm thấy trong ô đƣợc tô đậm GHGx, với số 5 từ bên trái ở mức 3 từ đỉnh khi đánh chỉ số bắt đầu từ 0.

Hình 1.6 Các nguyên tử gói Wavelet sinh ra từ Wavelet Daubechies 2

1.2.4.2. Phân tích đa phân giải và gói Wavelet

Kết luận đƣa ra trong phần 1.2.3 có thể áp dụng cho các gói Wavelet. Ngƣời ta nhận ra rằng cơ sở gói Wavelet bao gồm cơ sở Wavelet.

Đặt Wj ,n x Wj ,k,n x,kZ là tập hợp của các gói Wavelet.      x x kk Z Z k k x x       , W , W 1,1 0,0   (1.35) Nếu V0 biểu thị không gian mở rộng bởi W0,0chứa tín hiệu đƣợc phân tích thì

Wd,1,d 1 là một cơ sở trực giao của V0. Với mọi số nguyên dƣơng D,

 

WD,0, Wd,1,d 1 là một cơ sở trực giao của V0.

Sử dụng phƣơng pháp đệ quy tƣơng tự,Wn1,2n,Wj1,2n1 là một cơ sở trực

giao của không gian đƣợc mở rộng bởỉ W . Điểu đó dẫn đến sự loại bỏ các nhánh j ,n nhị phân liên kết của cây gói Wavelet tƣơng ứng với một cơ sở trực giao của không gian ban đầu. Với tín hiệu có năng lƣợng xác định, bất kỳ cơ sở gói Wavelet nào cũng sẽ đƣa ra sự khôi phục chính xác và đƣa ra một cách mã hoá tín hiệu riêng sử dụng các thông tin phân bố trong các băng con tỷ lệ tần số.

1.2.4.3 Lựa chọn phân tích tối ưu

Dựa trên tổ chức của thƣ viện gói Wavelet, và cùng với các phân tích đƣa ra từ Wavelet trực giao cơ sở, đƣa đến kết quả là một tín hiệu với độ dài N = 2L có thể khai triển theo 2N cách khác nhau, số lƣợng các nhánh con của nhánh nhị phân đầy đủ của độ sâu L. Để xác định xem phân tích nào tốt nhất chúng ta phải tìm sự phân tích tối ƣu đối với một tiêu chuẩn thích hợp. Tiêu chuẩn cơ sở entropy phù hợp các điều kiện này và mô tả các tính chất thông tin liên quan cho một biểu diễn chính xác của tín hiệu đã cho.

Với bất kỳ node trung gian nào trong một cây nhị phân đầy đủ ở độ sâu D tƣơng ứng với cây phân tích gói Wavelet, chúng ta sử dụng bƣớc cơ bản để tím nhánh tối ƣu thoả mãn tiêu chuẩn entropy đã cho E, với Eopt biểu thị giá trị entropy tối ƣu.       C k opt k E node

E( ) , với C là tập hợp các nút con của node

Nếu noderoot Eopt nodeEnode

      C k opt k E node

Chia và lập      C k opt opt node E k E ( ) Chúng ta sử dụng Entropy Shannon:      i i i f f f E( ) 2log 2 (1.36) 1.2.5 Các họ Wavelet

Hiện nay có một số hàm cơ bản có thể đƣợc sử dụng nhƣ là Wavelet mẹ cho các biến đổi Wavelet. Vì Wavelet mẹ sinh ra tất cả các hàm Wavelet đƣợc sử dụng trong biến đổi nhờ phép tịnh tiến và lấy tỷ lệ, xác định các đặc điểm của biến đổi Wavelet kết quả. Do vậy, đặc điểm của từng ứng dụng riêng cần đƣợc quan tâm và Wavelet mẹ thích hợp sẽ đƣợc chọn để có đƣợc biến đổi Wavelet hiệu quả.

Hình 1.7 Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 (e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat

Hình 1.7 mô tả một số hàm Wavelet đƣợc sử dụng phổ biến. Wavelet Haar là một trong những Wavelet đầu tiên và đơn giản nhất. Wavelet Daubechies là Wavelet phổ biến nhất, wavelet Haar là cơ sở cho xử lý tín hiệu Wavelet và đƣợc sử dụng trong nhiều ứng dụng. Các Wavelet Haar, Daubechies, Symlets và Coiflets là những Wavelet trực giao. Những Wavelet theo dạng Wavelet Meyer có khả năng khôi phục hoàn hảo. Các Wavelet Meyer, Morlet và Mexican Hat có dạng đối xứng.

1.2.6 Ứng dụng của Wavelet

Ngày nay biến đổi Wavelet có phạm vi ứng dụng rộng rãi. Biến đổi Wavelet đƣợc áp dụng trong những lĩnh vực khác nhau từ xử lý tín hiệu tới sinh trắc học, và phạm vi ứng dụng của biến đổi Wavelet ngày càng đƣợc mở rộng. Một trong các ứng dụng nổi bật của Wavelet là trong chuẩn nén dấu vân tay của FBI. Biến đổi Wavelet đƣợc sử dụng để nén ảnh dấu vân tay để lƣu giữ trong ngân hàng dữ liệu của FBI. Ban đầu FBI chọn biến đổi Cosine rời rạc (DCT) nhƣng biến đổi này không đƣợc thực hiện tốt ở tỷ số nén cao. Biến đổi này đƣa ra một vài hiệu ứng chặn làm cho không thể theo các đƣờng vân tay sau khôi phục. Điều này hoàn toàn không xảy ra với biến đổi Wavelet vì các tính chất của nó cho phép lƣu giữ lại chi tiết có trong dữ liệu.

 Ứng dụng trong y sinh

 Ứng dụng trong viễn thám

 Ứng dụng trong khảo sát thời tiết

 Ứng dụng trong khảo sát địa chất

 ….v…v

1.3 Lý thuyết Curvelet

Học thuyết đa phân giải có liên quan sâu sắc đến xử lý ảnh, sinh học, khoa học tính toán…Biến đổi Curvelet là biến đổi có hƣớng đa tỷ lệ, cho phép gần nhƣ tối ƣu các đại diện rời rạc không tƣơng thích của đối tƣợng với biên. Nó tạo ra sự quan tâm ngày càng tăng trong cộng đồng toán học ứng dụng và xử lý tín hiệu trong những năm qua. Ta trình bày tổng quan về biến đổi Curvelet, bao gồm lịch sử bắt đầu từ Wavelets, sự liên quan logic của nó đến học thuyết đa hƣớng đa phân giải giống nhƣ Contourlets và Shearlets, lý thuyết cơ bản và thuật toán rời rạc của nó. Hơn nữa, ta sẽ xem xét dựa trên các ứng dụng vào xử lý ảnh và video.

Các ảnh số có hai ma trận chiều trong xử lý ảnh. Một nhiệm vụ quan trọng là điều chỉnh các giá trị của những ma trận để có đƣợc các tính năng rõ ràng của hình ảnh. Điều chỉnh các giá trị tuân theo một mô hình toán học nhất định. Thách thức chính là xây dựng mô hình toán học phù hợp cho các yêu cầu thực tế. Chống nhiễu cho ảnh là một ví dụ, nhiều mô hình toán học đƣợc dựa trên việc phân vùng tần số

của hình ảnh, nơi mà các phần có tần số cao đƣợc loại bỏ nhƣ là các nhiễu trong khi các thành phần tần số thấp đƣợc giữ lại là các hình ảnh hữu ích. Các curvelet, có thể đƣợc xem nhƣ mô hình hiệu quả mà không chỉ xem xet nhƣ là một vùng tần số- thời gian đa tỷ lệ mà còn tạo ra cách sử dụng cho chức năng có hƣớng.

Các khái niệm lý thuyết của curvelet khá dễ hiểu, nhƣng làm thế nào để đạt đƣợc các thuật toán rời rạc trong những ứng dụng thực tế là một thách thức. Sau đây, ta tìm hiểu về sự hình thành của các curvelet từ các wavelet cổ điển. Ta đề cập vài cấu trúc wavelet để nâng cao biểu diễn của các hình bao trực giao hƣớng về sự thu nhận hình ảnh và xử lý hình ảnh. Sau đó ta sẽ có cái hình gần hơn về định nghĩa và các tính chất của biến đổi curvelet liên tục. Ta nhận đƣợc từ khung curvelet rời rạc và thuật toán nhanh tƣơng ứng cho biến đổi curvelet rời rạc trong khung hai và ba chiều. Trong thực tế, ta biểu diễn cấu trúc của hệ thống curvelet và sự rời rạc hoá của nó gián tiếp qua các ví dụ của “ Các curvelet thế hệ hai ”. Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra vài ứng dụng gần đây của biến đổi curvelet trong xử lý ảnh và địa chấn, động học chất lỏng, xử lý số của phƣơng trình cục bộ khác, và giảm thời gian lấy mẫu.

Hình 1.8 Các phần tử của các wavelet( bên trái) và các curvelet với các tỷ lệ khác nhau, các hướng và các chuyển dời trong miền không gian ( bên phải )

1.3.1 Mối quan của Curvelet với Wavelet

Có một số sự phát triển khác của các hệ thống wavelet có hƣớng trong vài năm gần đây với cùng mục tiêu, là phân tích tốt hơn và biểu diễn tối ƣu của các hình bao có hƣớng của tín hiệu trong nhiều chiều hơn. Không có phƣơng pháp tiếp cận nào đạt đến sự quảng bá rộng rãi nhƣ biến đổi Curvelet. Tuy vậy, ta muốn đề

cập ngắn gọn của một vài sự phát triển và miêu tả mối quan hệ giữa chúng với các curvelet.

Các wavelet Steerable, các wavelet Gabor, các wedgelet, các beamlet, các bandlet, các contourlet, các shearlet, các atom wave, các platelet, surfacelet, đã đƣợc đề xuất độc lập để nhận dạng và khối phục các đƣờng bao hình học. Các wavelet hình học này hay các wavelet có hƣớng đều đƣợc gọi là các X-let.

Các wavelet steerable và các wavelet Gabor có thể đƣợc xem nhƣ là các wavelet có hƣớng đầu tiên. Các wavelet steerable đƣợc xây dựng dựa trên các toán tử đạo hàm có hƣớng ( ví dụ nhƣ đạo hàm bậc hai của phép khử Gauss), trong khi các wavelet Gabor đƣợc tạo ra bởi một nhân Gabor là sản phẩm của một phép khử Gauss elip và sóng phẳng phức. Trong sự so sánh để phân chia các wavelet trực giao, các wavelet steerable cung cấp sự chuyển đổi bất biến và phép xoay bất biến biểu diễn của vị trí và sự định hƣớng của các cấu trúc ảnh. Các ứng dụng của các wavelet Gabor tập trung vào phân chia hình ảnh và phân tích kết cấu. Các wavelet Gabor đã đƣợc sử dụng để mô hình hoá các dạng trƣờng nhận biết của các đơn tế bào vỏ não. Các ứng dụng của các wavelet Gabor đề xuất độ chính xác của độ phân giải đạt đƣợc thông qua độ dôi có thể là vấn đề xác đáng hơn trong mô phỏng não bộ, và định hƣớng đó tạo dựng vai trò chìa khoá trong vỏ thị giác gốc. Sự khác biệt chihs giữa các wavelet steerable/ các wavelet Gabor và các X-let khác là đó là những phƣơng pháp đầu tiên không cho phép cho số lƣợng các hƣớng khác nhau tại từng tỷ lệ trong khi đạt gần đến giới hạn lấy mẫu.

Các Contourlet, đƣợc đề xuất bởi Do và Vetterli, thiếp lập cấu trúc băng lọc rời rạc để có thể phân phối hiệu quả với các hình ảnh phân đoạn mịn với các đƣờng biên mịn. Biến đổi rời rạc có thể đƣợc kết nối với các cấu trúc dạng cong trong miền liên tục. Do đó, biến đổi contourlet có thể đƣợc xem nhƣ dạng rời rạc của biến đổi curvelet riêng biệt. Các cấu trúc Curvelet yêu cầu toán tử quay và đúng với sự phân chia của mặt phẳng tần số 2D dựa trên hệ toạ độ cực. Đặc tính này tạo ra đơn Curvelet lý tƣởng trong miền liên tục nhƣng những gây ra những vấn đề trong việc thực hiện cho các ảnh rời rạc. Thực tế, tiếp cận giới hạn lấy mẫu dƣờng nhƣ khó

khăn trong những cấu trúc rời rạc hoá của các curvelet. Các contourlet dễ dàng để thực hiện việc lấy mẫu giới hạn. Tồn tại một phiên bản trực giao contourlet chuyển đổi nhanh hơn thuật toán curvelet rời rại hiện tại. Băng lọc có hƣớng, nhƣ thành phần chính của các contourlet, có cấu trúc cây thích hợp, nơi răng cƣa đƣợc cho phép tồn tại và sẽ bị loại bởi các bộ lọc đƣợc thiết kế cẩn thận. Nhƣ thế, pàn khác biệt giữa các contourlet và các wavelet là biến đổi contourlet đƣợc xác định trực tiếp trên các lƣới chữ nhật rời rạc số. Không may, các hàm contourlet so với các curvelet có hƣớng hình học/đƣờng bao ít rõ ràng hơn dẫn đến những thành phần giả nhiễu và nén.

Các surfacelet là những mở rộng 3D của các contourlet 2D thu đƣợc bởi chóp đa tỷ lệ và băng lọc có hƣớng nhiều chiều hơn. Chúng có thể đƣợc dùng để bắt hiệu quả và biểu diễn các kỳ dị bề mặt trong dữ liệu thể tích đa chiều liên quan đến hình ảnh y sinh, hình ảnh địa chấn, xử lý video và thị giác nhân tạo. Các surfacelet và các Curvelet nhắm đến cùng sự phân chia tần số, nhƣng hai biến đổi đạt đƣợc mực tiêu với 2 cách tiếp cận khác nhau mà ta đã miêu tả ở vùng 2D. Biến đổi surfacelet có độ dƣ ít hơn so với biến đổi curvelet, và đặc điểm ƣu việt này bị trả giá bởi sự suy giảm của các đƣờng bao có hƣớng.

Không giống nhƣ các curvelet, các shearlet hình thành một hệ thống cộng tuyến tính với việc khởi động tham số hàm shearlet mẹ bởi sự co giãn, sự trƣợt, và tham số chuyển dịch, nơi mà tham số trƣợt thu đƣợc hƣớng của các kỳ dị. Điều này đƣợc thể hiện ở các biến đổi curvelet và shearlet có cùng tỷ lệ suy giảm. Thực vậy, sử dụng biến đổi curvelet nhanh đã dựa trên sự chuyển tiếp đến các dãy Cartesian, các thực hiện rời rạc của hai biến đổi rất giống nhau.

Biến đổi bandlet đƣợc dựa trên các kỹ thuật đáp ứng và có chất lƣợng tốt cho các hình ảnh với kết cấu vƣợt xa hơn C2- các kỳ dị, nhƣng nó phải trả những giá trị tính toán cao hơn cho sự đáp ứng của nó.

1.3.2 Biến đổi curvelet

ridgelet là không rõ ràng khi chúng không phải là các hàm ridge thực sự trong các ảnh số. Trong phần này, chúng ta áp dụng phƣơng pháp thứ hai đƣợc xem là đơn giản hơn để sử dụng là biến đổi curvelet rời rạc DCuT [2,3].

Cho và là một cặp làm trơn, các hàm cửa sổ giá trị thực không âm,