Học thuyết đa phân giải có liên quan sâu sắc đến xử lý ảnh, sinh học, khoa học tính toán…Biến đổi Curvelet là biến đổi có hƣớng đa tỷ lệ, cho phép gần nhƣ tối ƣu các đại diện rời rạc không tƣơng thích của đối tƣợng với biên. Nó tạo ra sự quan tâm ngày càng tăng trong cộng đồng toán học ứng dụng và xử lý tín hiệu trong những năm qua. Ta trình bày tổng quan về biến đổi Curvelet, bao gồm lịch sử bắt đầu từ Wavelets, sự liên quan logic của nó đến học thuyết đa hƣớng đa phân giải giống nhƣ Contourlets và Shearlets, lý thuyết cơ bản và thuật toán rời rạc của nó. Hơn nữa, ta sẽ xem xét dựa trên các ứng dụng vào xử lý ảnh và video.
Các ảnh số có hai ma trận chiều trong xử lý ảnh. Một nhiệm vụ quan trọng là điều chỉnh các giá trị của những ma trận để có đƣợc các tính năng rõ ràng của hình ảnh. Điều chỉnh các giá trị tuân theo một mô hình toán học nhất định. Thách thức chính là xây dựng mô hình toán học phù hợp cho các yêu cầu thực tế. Chống nhiễu cho ảnh là một ví dụ, nhiều mô hình toán học đƣợc dựa trên việc phân vùng tần số
của hình ảnh, nơi mà các phần có tần số cao đƣợc loại bỏ nhƣ là các nhiễu trong khi các thành phần tần số thấp đƣợc giữ lại là các hình ảnh hữu ích. Các curvelet, có thể đƣợc xem nhƣ mô hình hiệu quả mà không chỉ xem xet nhƣ là một vùng tần số- thời gian đa tỷ lệ mà còn tạo ra cách sử dụng cho chức năng có hƣớng.
Các khái niệm lý thuyết của curvelet khá dễ hiểu, nhƣng làm thế nào để đạt đƣợc các thuật toán rời rạc trong những ứng dụng thực tế là một thách thức. Sau đây, ta tìm hiểu về sự hình thành của các curvelet từ các wavelet cổ điển. Ta đề cập vài cấu trúc wavelet để nâng cao biểu diễn của các hình bao trực giao hƣớng về sự thu nhận hình ảnh và xử lý hình ảnh. Sau đó ta sẽ có cái hình gần hơn về định nghĩa và các tính chất của biến đổi curvelet liên tục. Ta nhận đƣợc từ khung curvelet rời rạc và thuật toán nhanh tƣơng ứng cho biến đổi curvelet rời rạc trong khung hai và ba chiều. Trong thực tế, ta biểu diễn cấu trúc của hệ thống curvelet và sự rời rạc hoá của nó gián tiếp qua các ví dụ của “ Các curvelet thế hệ hai ”. Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra vài ứng dụng gần đây của biến đổi curvelet trong xử lý ảnh và địa chấn, động học chất lỏng, xử lý số của phƣơng trình cục bộ khác, và giảm thời gian lấy mẫu.
Hình 1.8 Các phần tử của các wavelet( bên trái) và các curvelet với các tỷ lệ khác nhau, các hướng và các chuyển dời trong miền không gian ( bên phải )