Câu 1:
Bảng 2.1 Thống kê các lời giải câu 1 của học sinh (phiếu số 1)
S1a S1a’ S1a’’ S1b Tổng
Tần số 40 35 0 2 79
Từ số liệu thống kê, chúng tôi nhận thấy tần số S1a và S1a’ chiếm ưu thế tuyệt đối, tức là chiến lược dùng kỹ thuật biến đổi đại số thống trị.
Điều đáng quan tâm là có hai học sinh phá vỡ hợp đồng với hai kết quả xấp xỉ và không có một dấu vết nào của kỹ thuật biên đổi đại số:
H10: 12. 0, 48 0,12
392 ≈
H75: 12. 0, 48 0,12122
392 ≈
Từ kết quả cho thấy: chỉ có H10 là có khả năng sử dụng kỹ thuật bảng căn bậc hai.
H75 sử dụng kỹ thuật máy tính bỏ túi, kết quả của H75 là do làm tròn từ số 0,121218... hiển thị trên màn hình máy tính.
Tuy nhiên, khi thực nghiệm chúng tôi đã cố tình quan sát và thấy rằng: máy tính bỏ túi được học sinh chuẩn bị trước, còn bảng căn bậc hai thì không thấy hiện diện trên bàn của học sinh.
Phải chăng H10, H75 là trường hợp chúng tôi không quan sát kịp. Tuy vậy, chúng tôi vẫn dự đoán H10 đã sử dụng máy tính bỏ túi (kết quả làm tròn từ số 0,121...)
Bài giải điển hình được thuộc S1a: H15: Cho lời giải như sau
77 12. 0, 48 4.3. 0, 48 2 1, 44 392 196.2 14 2 144 12 6 100 10 5 7 2 7 2 7 2 6 3 2 35 35 2 = = = = = = =
Bài giải điển hình thuộc S1a’:
H34: 12. 0, 48 12.0, 48 5, 7 392 = 392 =14 2
Không có học sinh nào đang giải bằng kỹ thuật số giữa chừng mà cho kết quả xấp xỉ.
Trong số 40 sản phẩm thuộc S1a có 25 sản phẩm trục căn thức ở mẫu. Đương nhiên có những kỹ thuật tự động làm mất căn ở mẫu, chúng tôi nhận thấy được điều đó. Vì vậy chúng tôi không chỉ quan sát kết quả cuối cùng mà còn đối chiếu với các bước làm liền trước: tức là chúng tôi ghi nhận những trường hợp xuất hiện căn số ở mẫu và rồi chính căn số vừa xuất hiện đó được chuyển lên tử. Cuối cùng là một kết quả không còn căn số dưới mẫu.
Như vậy, mặc dù có đến 35/79 học sinh gặp khó khăn không thể vượt qua nhưng họ vẫn không từ bỏ kỹ thuật biến đổi đại số đã chọn ban đầu để sử dụng một kỹ thuật khác có thể cho phép họ giải quyết bế tắc. Rõ ràng kỹ thuật máy tính bỏ túi và bảng căn bậc hai mặc nhiên không được sử dụng khi không có chỉ định rõ ràng.
Tính đúng đắn của R1được khẳng định.
Câu 2:
Bảng 2.2 Thống kê các lời giải câu 2 của học sinh (phiếu số 2)
S2a S2a’ S2b S2b’ Tổng
Tấn số 7 21 52 1 79
Ưu thế tuyệt đối của S2a’ và S2b cho thấy hiệu lực mạnh mẽ của R3. Đồng thời, S3a chiếm tỉ lệ 7/79 góp phẩn khẳng định R2.
78
Bài giải tiêu biểu cho S2b:
H25: x x y. x x. y x( 1 y)
y + = y + = y + với .x y >0 Bài giải tiêu biểu cho S2a:
H1: 2 . . 1 . . x y . . 1 x x y x y x y x y x y y y y y + = + = + = + với .x y >0 Như vậy chúng tôi đã kiểm chứng được R3.
Câu 3:
Bảng 2.3 Thống kê các lời giải câu 3 của học sinh (phiếu số 3)
S3a S3b S3c Tổng
41 8 30 79
S3a và S3c chiếm ưu thế tuyệt đối, chứng tỏ học sinh không quan tâm đến căn thức có xác định không, những gì giáo viên đã yêu cầu thì sẽ phải làm được và bài toán giáo viên đã ra thì sẽ không có vấn đề.
Bài giải điển hình S3a:
H53: P= x x( + = − − + = − − =1) 2( 2 1) 2( 1) 2 2 2 2 1 1 2 1 x Q x − − = = = = − + − + Vậy P = Q
Bài giải điển hình thuộc S3c
H66:P= x x( + = − − + = − − =1) 2( 2 1) 2( 1) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 x x Q x x − − = = = = = + − + + − + Vậy P = Q
79
Ở công đoạn tính Q, trong lời giải của học sinh có phần bị gạch bỏ đã được chúng tôi đóng khung. Như vậy, dường như họ đã cảm nhận thấy có cái gì đó không ổn, nhưng họ vẫn cố sửa cho đúng để đáp ứng đòi hỏi của giáo viên mà không quan tâm đến tính hợp thức của kỹ thuật mà họ vận dụng. Họ không đặt vấn đề nghi ngờ bài toán được đưa ra.
Có 8 lời giải thuộc S3b, họ tính được P và không tính được Q; họ ngừng công việc ở đó và không có một phản ứng nào.
Đương nhiên S3a cho thấy học sinh mơ hồ về khái niệm căn bậc hai số học của một số, họ vô tư tính theo yêu cầu của giáo viên, có lẽ R3 đã tác động đến họ, họ không quan tâm điều kiện tồn tại của căn bậc hai.
Tỉ lệ 30/79 của S3c rất đáng quan tâm, ở đó học sinh đã nhận thấy được việc không tính được căn bậc hai của số âm, họ tìm mọi cách để tính được, họ đã biến đổi biểu thức để làm mất đi các số âm đơn lẻ trong căn để trở thành một thương của hai số âm trong dấu căn.
Rõ ràng đây là bài toán không thể giải được nhưng học sinh vẫn cố giải, không có học sinh nào chọn một chiến lược khác, hay có một dấu vết nào cho thấy họ nghi ngờ tính hợp thức của bài toán, đại loại như những nhận xét “không thể tính được Q” hay “không có căn bậc hai của số âm” hay “không thể so sánh được P và Q”. Tuyệt nhiên, không tìm thấy bất kỳ nhận xét nào như thế xuất hiện trong các bài giải của học sinh.
Điều này khẳng định giả thuyết H2.