1.2.2.1. Lý thuyết
Chúng tôi phân tích chương 1 SGK9 vì ở chương này khai niệm căn bậc hai được đưa vào một cách hoàn chỉnh.
Nội dung của chương này bao gồm:
- Căn bậc hai: định nghĩa, ký hiệu, điều kiện tồn tại. Hằng đẳng thức
2
A = A
- Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc hai. Khai phương một thương. Chia các căn thức bậc hai.
- Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.
Căn bậc hai số học:
SGK9 nhắc lại định nghĩa căn bậc hai của một số không âm cùng với nhận xét đã đưa vào ở SGK7 như là sự gợi nhớ cho học sinh. Điều này thể hiện một sự tiếp nối trong thể chế THCS.
Tiếp theo là một hoạt động:
(SGK9, tr.4, HĐ1; lời giải trong SGV9, tr.14) Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:
a) 9 ; b) 4
9 ; c) 0, 25 ; d) 2 Giải:
19
Cách 1: Chỉ dùng định nghĩa...
Cách 2: Có dùng cả nhận xét về căn bậc hai...”
Lời hướng dẫn vừa trích như là một khẳng định: Không khuyến khích dùng kỹ thuật máy tính bỏ túi để giải.
Sau hoạt động, định nghĩa căn bậc hai số họcđược đưa vào lần đầu, một cách tự nhiên, không có gì xa lạ. Xem như là đặt tên cho một kiến thức học sinh đã biết.
Định nghĩa: “Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.” (SGK9, tr.4)
Điểm mới là một chú ý quan trọng: “Chú ý: Với a≥0 , ta có:
Nếu x= a thì x≥0 và 2
x =a Nếu x≥0 và 2
x =a thì x= a “ (SGK9, tr.4)
Chú ý này là cơ sở để giải phương trình dạng x =a và một số phương trình
quy về dạng này.
Tiếp theo SGK9 giới thiệu phép khai phương. Đưa ra một gợi ý kỹ thuật tìm các căn bậc hai của một số thông qua căn bậc hai số học
“Chẳng hạn, căn bậc hai số học của 49 là 7 nên 49 có hai căn bậc hai là 7 và -7” (SGK9, tr.5)
Thứ tự các căn bậc hai số học
Nhắc lại và hoàn chỉnh một kiến thức học sinh đã biết ở lớp 7 mà chưa có dịp sử dụng:
20
Sau đó nêu định lý:
"Với hai số a và b không âm, ta có: a< ⇔b a < b “ (SGK9, tr5)
Định lý này cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và quan hệ thứ tự. Tính chất này là cơ sở cho giải toán so sánh các số thông qua so sánh các căn bậc hai số học của chúng (và ngược lại) và cũng là cơ sở cho giải toán về bất phương trình chứa căn bậc hai.
Bước chuyển từ căn số sang căn thức.
Giống như cách mà thể chế đã chọn tình huống hình thành khái niệm căn bậc hai của một số ở lớp 7 (một tình huống hình học); SGK9 đưa vào bài toán dẫn đến khái niệm căn thức. Chỉ có điều khác biệt là: tình huống ở lớp 7 đưa ra khi mà học sinh chưa biết định lý Py-ta-go, còn tình huống ở lớp 9 là khi học sinh đã biết và vận dụng nhiều.
(SGK9, tr.8, HĐ1; lời giải trong SGV9, tr.20)
Hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = 5cm và cạnh BC = x (cm) thì cạnh 2
25
AB= −x (cm). Vì sao?
Giải:
Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Py-ta-go, ta có:
2 2 2
AB +BC = AC .
Suy ra AB2 =25−x2 . Do đó 2
25
AB= −x .
Từ đó SGK9 nêu khái niệm căn thức:
“Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A là được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.”
21
Lên quan đến kiểu nhiệm vụ tìm điều kiện xác định của A thì thể chế chỉ yêu cầu “Biểu thức A không phức tạp (bậc nhất, phân thức, mà tử hoặc mẫu là bậc nhất còn mẫu hay tử còn lại là hằng số hoặc bậc nhất, bậc hai dạng 2
a +m hay
2
(a m)
− + khi m > 0 )” (SGV9, tr.19). Điều này giúp học sinh tránh được việc giải
bất phương trình bậc hai.
Xây dựng công thức biến đổi trên căn thức
Quá trình này được thực hiện theo một quy trình tuyến tính - Xuất phát từ một bài toán cụ thể trên các số
- Nêu và chứng minh các định lý trên các số tổng quát - Ví dụ minh họa cho định lý
- Khái quát thành công thức biến đổi trên các biểu thức đại số - Ví dụ minh họa cho công thức.
Định lý cho thấy một mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình
phương:
Xuất phát từ bài toán sau (SGK9, tr.8, HĐ1)
Điền số thích hợp vào ô trống
a -2 -1 0 2 3
a
Sau đó, nêu định lý: “Với mọi số a, ta có 2
22
Định lý này là cơ sở cho hằng đẳng thức 2
A = A , đồng thời giúp học sinh
có thể biết được khi nào bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó thì lại được số ban đầu.
Thể chế mong muốn hình thành nghĩa của phép khai phương: là phép toán ngược của phép bình phương.
Minh họa định lý vừa nêu, SGK9 nêu ví dụ (SGK9, tr.9, VD2) Tính a) 2 12 ; b) ( )2 7 − Giải: a) 122 = 12 =12 ; b) ( )2 7 7 7 − = − = Một đề nghị từ SGV9, tr.21 về việc áp dụng định lý:
“Giáo viên trình bày ví dụ 2 và nêu ý nghĩa: không cần tính căn bậc hai mà vẫn tìm được giá trị của căn bậc hai (nhờ biến đổi về biểu thức không chứa căn bậc hai)”
Phải chăng thể chế muốn nói đến sự ưu tiên một kỹ thuật biến đổi đại số so với kỹ thuật tính toán trực tiếp trên số.
Sau cùng là cung cấp công thức: (SGK9, tr.10)
Chú ý: Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có 2
A = A , có nghĩa là:
2
23
2
A = −A nếu A<0 (tức A lấy giá trị âm).
Minh họa cho công thức (SGK9,tr.10, VD4) Rút gọn a) (x−2)2 với x≥2 b) 6 a với a<0 Giải a) 2 (x−2) = − = −x 2 x 2 (vì x≥2 ) b) 6 ( )3 2 3 a = a = a Vì a < 0 nên a3< 0, do đó 3 3 a = −a Vậy 6 3 a = −a (với a<0)
Liên quan đến việc tìm điều kiện xác định của biểu thức khi biến đổi căn thức chúng tôi nhân thấy một ràng buộc như sau:
“Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai luôn gắn với điều kiện xác định của biểu thức. Đây là vấn đề khó và phức tạp với học sinh, bởi vì việc tìm điều kiện xác định của biểu thức thường gắn với giải hệ bất phương trình và phương trình mà đến cấp THPT mới được học. Do vậy, yêu cầu xem xét các điều kiện xác định của biểu thức chỉ dừng ở mức độ chỉ cho học sinh hiểu. Phần lớn các bài tập trong sách có liên quan đến biểu thức chứa chữ đều cho trước điều kiện của các chữ. Các điều kiện này đôi khi hẹp hơn điều kiện xác định của biểu thức. Cũng vì lý do sư phạm, khi thực hiện biến đổi biểu thức, việc đối chiếu với điều kiện cũng không bắt buộc phải nêu rõ ràng.” (SGV9, tr.14)
24
Một lần nữa có một ràng buộc mà giáo viên đã biết còn học sinh thì không được công khai.
Chúng tôi nhận thấy đúng như SGV9 khẳng định, hầu hết các bài tập chứa chữ đều có sẵn điều kiện của chữ. Thậm chí có khi SGK9 còn “quên” viết lại điều kiện của các chữ khi giải mẫu ví dụ: (Ví dụ 1 SGK9, tr.28) chẳng hạn. Ví dụ này sẽ được chúng tôi trích dẫn ở phần sau: khử mẫu biểu thức lấy căn.
Có thể nói, các điều kiện của chữ nếu được sử dụng cũng chỉ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Từ đó chúng tôi đưa ra quy tắc ngầm ẩn:
RD3. “Trong quá trình biến đổi biểu thức chứa căn, học sinh không cần kiểm tra điều kiện xác định của các căn thức nói riêng và của biểu thức nói chung, không quan tâm đến điều kiện phát sinh khi biến đổi căn thức”
Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương
Xuất phát từ bài toán: tính và so sánh các cặp số có dạng a b. và a. b ;
a b và
a
b SGK9 lần lượt giới thiệu định lý về mối liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương cùng với các chứng minh cụ thể. Đồng thời nêu các quy tắc khai phương một tích, một thương; nhân, chia các căn bậc hai.
“Phép chứng minh định lý về liên hệ giữa phép khai phương và phép nhân vừa củng cố thêm hiểu biết về căn bậc hai số học vừa rèn luyện suy luận trong lĩnh vực đại số” (SGV9, tr.23)
Việc chứng mịnh định lý về liên hệ giữa phép khai phương và phép chia được đưa ra tương tự.
Với các công cụ vừa được cung cấp, học sinh có thêm kỹ thuật để khai phương một số ngoài kỹ thuật nhẩm bình phương; số này có thể là số chính phương
25
lớn hơn 400. Chúng tôi có nhận định này vì qua phân tích SGK9 nhận thấy rằng trong yêu cầu tìm căn bậc hai một số a (a được cho dưới dạng không phân tích) thì a không quá 400 (SGK9, tr.6, BT1)
Liên quan đến yêu cầu khai phương một số, chúng tôi không tìm thấy văn bản nào trong SGK9 nêu rõ phạm vi số cần khai phương, nhưng điều này được quy định rõ trong SGV9:
“Yêu cầu học sinh nhớ kết quả khai phương của các số chính phương từ 1 đến 400 không chỉ rèn luyện tính nhẩm trong tính toán và biến đổi căn thức mà còn giúp hiểu thêm tính chất về các mối liên hệ giữa phép nhân và phép chia” (SGV9, tr.23)
Như vậy đây là một ràng buộc mà giáo viên biết rõ còn học sinh không được công khai. Đây là một quy tắc ngầm ẩn đối với học sinh
Đưa thừa số vào trong dấu căn, ra ngoài dấu căn
Đây là hai phép biến đổi ngược nhau, cơ sở của hai phép biến đổi này là đẳng thức
2
a b =a b (với a≥0,b≥0 )
Minh họa cho phép biến đổi đưa thừa số vào trong dẫu căn SGK đưa ví dụ: (SGK9, tr.24, VD2) Rút gọn biểu thức 3 5+ 20+ 5 Giải 2 3 5 20 5 3 5 2 .5 5 3 5 2 5 5 (3 2 1) 5 6 5 + + = + + = + + = + + =
26
Khái niệm “căn thức đồng dạng” được cảm nhận thông qua ví dụ chứ không được giới thiệu chính thức. Trong khi việc biến đổi về các căn thức đồng dạng là một trong những kỹ thuật để giải quyết các bài toán thứ tự các căn bậc hai số học, rút gọn. Lý giải điều này: “Căn thức đồng dạng và kỹ thuật cộng, trừ các căn thức đồng dạng ... không mô tả ở dạng tổng quát mà coi như là ứng dụng của phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn. Cũng do không đi sâu về căn thức đồng dạng nên các bài tập sử dụng kỹ thuật này được đặt ra với yêu cầu chung chung là rút gọn biểu thức” (SGV9, tr.33).
Không có một văn bản nào khẳng định sự ưu tiên cho một trong hai phép biến đổi này từ thể chế. Tuy nhiên chúng tôi sẽ xem xét “có hay không một sự ưu tiên một trong hai kỹ thuật trên” trong khi phân tích các tổ chức toán học.
Khử mẫu của biểu thức lấy căn. Trục căn thức ở mẫu
Thể chế không đưa ra một lý do nào cho hai yêu cầu trên. Tại sao phải khử mẫu của biểu thức lấy căn? Tại sao phải trục căn thức ở mẫu? Việc làm này mang lại lợi ích gì, trong trường hợp nào?
Chúng tôi trích dẫn ví dụ minh họa cho hai kỹ thuật này từ SGK9 (SGK9, tr.28, VD1)
Khử mẫu của biểu thức lấy căn a) 2 3 b) 5a 7b với a.b > 0 Giải a) 2 2.3 2.32 6 3 = 3.3 = 3 = 3 b) 2
5a 5a.7b 5a.7b 35a
7 7 .7 7 7
b
27
Sau ví dụ này, SGK9 tổng kết thành một công thức (công thức (6) ở bảng công thức phia sau)
Như đã phân tích ở trên, SGK9 “quên” viết lại điều kiện, thực sự đây là động thái có chủ ý rõ ràng. Không viết lại điều kiện a.b > 0 vì không thể khai thác nó để khử dấu giá trị tuyệt đối. Điều này củng cố quy tắc ngầm ẩn:
RD4. “Điều kiện các chữ chỉ được quan tâm khi có mục đích sử dụng ở kết quả cuối cùng”
Như SGK9 giới thiệu đây là một phép biến đổi thường gặp, rõ ràng sẽ được vận dụng trong các bài toán rút gọn, tính giá trị biểu thức. Như thế nào là “gọn”? Nhìn từ ví dụ trên, người đọc sẽ so sánh giữa số ban đầu và kết quả sau khi biến đổi. Ở câu a) cặp số ban đầu và kết quả không có gì khác biệt ngoài việc kết quả mất căn ở mẫu. Ở câu b) cũng vậy, thậm chí kết quả còn phức tạp hơn. Tuy nhiên có những trường hợp việc làm này là cần thiết và mang lại hiêu quả cho những nhiệm vụ tiếp theo của bài toán.
Có lẽ học sinh sẽ cảm nhận mục đích của hành động này thông qua các ví dụ và bài tập, từ đánh giá của giáo viên mà không cần biết lý do.
Chúng tôi dự đoán một quy tắc ngầm ẩn:
RD5. “Khi rút gọn thì kết quả cuối cùng không được chứa căn ở mẫu và không được có mẫu trong biểu thức dưới căn”
(SGK9, tr.28, VD2) Trục căn thức ở mẫu a) 5 2 3 ; b) 10 3 1+ ; c) 6 5− 3 . Giải
28 a) 5 5 3 5 3 5 3 2.3 6 2 3 = 2 3. 3 = = ; b) 10 10( 3 1) 10( 3 1) 5( 3 1) 3 1 3 1 ( 3 1)( 3 1) + + = = = + − + + + ; c) 6 6( 5 3) 6( 5 3) 3( 5 3) 5 3 5 3 ( 5 3)( 5 3) − − = = = − − − − − .
Kèm theo giải mẫu ví dụ 2, thể chế đưa ra lời hướng dẫn:
“Trong ví dụ trên ở câu b), để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức 3 1− . Ta gọi biểu thức 3 1− và biểu thức 3 1+ là hai biểu thức liên hợp với nhau...” (SGK9, tr.29).
Thông qua ví dụ học sinh tự cảm nhận về biểu thức liên hợp và liên tưởng đến hằng đẳng thức 2 2
( )( )
a −b = a+b a−b quen thuộc.
“Mức độ phức tạp của việc trục căn thức ở mẫu được SGK ngầm giới hạn ở ba dạng ứng với ba loại ví dụ” (SGV9, tr.36)
Theo như trích dẫn vừa nêu thì ba dạng này đã được SGK9 tổng kết thành công thức tổng quát sau ví dụ nêu trên (các công thức (7), (8), (9) trong bảng 1.2 được trình bày phía sau)
Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Ở bài này, không có một khái niệm hay lý thuyết nào mới được đưa vào. Những lời bình luận, các ví dụ trong SGK9 lúc này mang tính định hướng kiểu mẫu.
“Tính lý thuyết được giới thiệu qua định hướng và dẫn dắt cho các ví dụ... giáo viên giới thiệu ví dụ như là bài mẫu” (SGV9, tr.41”)
29
Chúng tôi liệt kê các công thức được (SGK9, tr.39) tổng hợp tại phần ôn tập chương để thuận tiện phân tích và trích dẫn.
Bảng 1.2 Các công thức biến đổi căn thức
(1) A2 = A ; (2) AB = A B (với A≥0 và B≥0 ) (3) A A B = B (với A≥0 và B>0 ) (4) A B2 = A B (với B≥0 ) (5) 2 A B = A B (với A≥0 và B≥0 ) (6) A 1 AB B = B (với AB≥0 và B≠0 ) (7) A A B B B = (với B>0 ) (8) C C( A 2B) A B A B = − ± (với A≥0 và 2 A≠ B ) (9) C C( A B) A B A B = − ± (với A≥0 , B≥0 và A≠ B )
Bảng căn bậc hai (một công cụ tiện lợi để khai phương khi không có máy
tính)
Ở bài này, SGK9 giới thiệu bảng căn bậc hai trong cuốn “Bảng số với 4 chữ số thập phân” của V.M. Bra-đi-xơ , cách sử dụng bảng để tra cứu căn bậc hai của một số không âm.
Mục tiêu của bài này: “Học sinh cần:
30
- Hiểu được cấu tạo của bảng căn bậc hai
- Có kỹ năng tra bảng để tìm căn bậc hai của một số không âm” (SGV9, tr.31) Cách sử dụng bảng căn bậc hai có hai mức độ:
- Tra bảng để tìm trực tiếp căn bậc hai số học của: + Số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 100
+ Số lớn hơn 100 + Số nhỏ hơn 1
- Kết hợp tra bảng với tính chất phép khai phương một tích và khai phương một thương.