Vật liệu tính toán có dạng cốt sợi dọc trục với pha nền ta ký hiệu là chữ m và vật liệu cốt sợi ta ký hiệu bởi chữi. Pha nền và pha cốt đều là dạng vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng được đặc trưng bởi mô đun đàn hồiE và hệ số nở hông
ν . Giá trị lần lượt của 5 hệ số đàn hồi hiệu quảKef f, µef f, νef f, Eef f vàµef f phụ thuộc vào phần trăm thể tích pha cốt liệuvi sẽ được trình bày từ hình 4.5 tới hình 4.9. Các hình .(a) tương ứng với số liệu: Em = 1, νm = 0.25, Ei = 10, νi = 0.35
và ngược lại các hình .(b) tương ứng với số liệu: Em = 10, νm = 0.35, Ei = 1, νi = 0.25. Kết quả phương pháp PTHH biểu thị bằng đường đậm nét đứt cùng với hai đường nét liền là đánh giá trên và dưới.
Các đánh giá choKef f vàµef f sử dụng các kết quả chương 2 và chương 3 cho bài toán 2 chiều. Các đánh giá choEef f và νef f dựa vào quan hệ Hill cho vật liệu cốt sợi dọc trục 2 pha theo (2.40). Các đánh giá cho µef f tương tự với đánh giá cho hệ số dẫn vật liệu 2 pha sử dụng kết quả của Nguyen Trung Kien [45].
(a) (b)
Hình 4.5: Mối quan hệ Kef f −vi
(a) (b)
Hình 4.6: Mối quan hệµef f −vi
Nhận xét:Từ hình 4.5 đến 4.9 các kết quả tính toán số (đường đậm nét đứt) đều nằm trong kết quả đánh giá (các đường nét liền) đặc biệt đối vớiEef f vàνef f có thể coi là trùng nhau (hình 4.7, 4.8).
Các kết quả của Eef f và νef f được xác định sau khi tìm được đánh giá Kef f
tuy nhiên không phải đánh giá trên củaKef f sẽ luôn luôn cho đánh giá trên của
(a) (b)
Hình 4.7: Mối quan hệνef f −vi
(a) (b)
(a) (b)
Hình 4.9: Mối quan hệµef f −vi
4.4. Kết luận
Chương này tác giả đã trình bày lý thuyết đồng nhất hóa cho vật liệu tuần hoàn trong khuôn khổ luận án, nó sẽ là cơ sở để tác giả nghiên cứu cho các lớp bài toán phức tạp hơn. Tác giả cũng đã áp dụng tính toán các hệ số đàn hồi bằng phương pháp PTHH cho mô hình vật liệu tuần hoàn, cụ thể là mô hình vật liệu cốt sợi dọc trục - đây là mô hình vật liệu thường thấy trong kỹ thuật. Có thể nói về mặt nguyên tắc các tính toán PTHH cho bài toán đàn hồi đều theo các bước chung, tuy nhiên đối với bài toán đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn các điều kiện biên về lực và chuyển vị có khác biệt. Ở đây vì vật liệu là tuần hoàn nên bài toán dược đưa về cho nhân tuần hoàn với điều kiện biên về chuyển vị là tuần hoàn nhưng điều kiên biên về lực lại là phản tuần hoàn theo công thức(4.8).
Các kết quả tính toán đã được thực hiện và hiển thị theo dạng đồ thị, so sánh với các kết quả tính bởi các công thức đánh giá đã xây dựng trong các chương trước. Các kết quả số PTHH đều nằm trong các đánh giá (có trường hợp gần như trùng nhau) - khảng định sự tin cậy của các phương pháp áp dụng.
Mặt hạn chế của phương pháp tính số trực tiếp là chủ yếu tính được cho vật liệu tuần hoàn, đối với vật liệu có hình thái sắp xếp ngẫu nhiên ví dụ như các quả cầu hỗn độn đã trình bày ở những chương trước thì sẽ khó khăn hơn nhiều, vì phải tính cho RVE có kích thước lớn chứ không phải nhân tuần hoàn.
KẾT LUẬN CHUNG
Luận án đã xây dựng các đánh giá cho các hệ số đàn hồi vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần có bao hàm các thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu. Phương pháp PTHH cũng được áp dụng cho một mô hình vật liệu tuần hoàn có so sánh với các đánh giá.
Những đóng góp mới của luận án:
1. Xây dựng đánh giá mới cận trên và cận dưới các hệ số đàn hồi vật liệu đẳng hướngN thành phần trong không giandchiều tổng quát.
Luận án đã sử dụng trường phân cực tổng quát chứa nhiều biến tự do hơn trường phân cực trước đây trong Phạm Đức Chính [1], nhờ vậy nhận được các đánh giá đơn giản và tốt hơn khiN ≥ 3. Phương pháp nhân tử Lagrange được áp dụng khi tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng chứa đựng các biến tự do chịu ràng buộc. Các đánh giá mới chứa đựng các thông tin về tính chất, tỷ lệ thể tích các thành phần cấu tạo vật liệu, và thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu đó.
2. Áp dụng các đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu có các thông tin bậc ba đã biết về hình học pha vật liệu: vật liệu tựa đối xứng, mô hình quả cầu lồng nhau nhiều pha (một phát hiện mới khá thú vị khi áp dụng tính toán cho bài toán vật liệu dạng quả cầu lồng nhau ba pha thì các đánh giá cho biên trên và biên dưới trùng nhau tức là tìm được nghiệm chính xác), mô hình quả cầu hỗn độn tách rời, mô hình quả cầu hỗn độn chồng lấn, các mô hình tuần hoàn trong không gian 2 chiều và 3 chiều.
3. Sử dụng chương trình tính toán số với ngôn ngữ lập trình MATLAB để thiết lập các véc tơ, ma trận trong tính toán các đánh giá mới, tối ưu các tham số hình học của vật liệu cụ thể. Chương trình CAST3M được sử dụng để tính cho mô hình vật liệu cốt sợi dọc trục đẳng hướng ngang cho kết quả so sánh phù hợp với các đánh giá. Xây dựng được bộ chương trình tính các đánh giá với cách sử dụng rất đơn giản có thể giúp cho các nhà kỹ thuật áp dụng tính toán thiết kế, dự đoán các mẫu vật liệu mới theo mong muốn.
Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu
1. Xây dựng các trường khả dĩ sao cho các đánh giá tốt hơn nữa (biên trên và biên dưới càng hẹp hơn).
2. Từ các kết quả mà tác giả xây dựng có thể phát triển tiếp các đánh giá cho một số loại vật liệu phức tạp hơn như đối với lớp bài toán đa tinh thể hỗn độn. 3. Kết hợp các đánh giá với mô phỏng số PTHH và các phương pháp xấp xỉ để
Các công trình đã công bố
Các kết quả của luận án đã được công bố trên tạp chí quốc tế (01 bài SCI), tạp chí quốc gia (02 bài trên Vietnam Journal of Mechanics) và tuyển tập các báo cáo hội nghị trong nước (03 báo cáo hội nghị). Cụ thể:
1. Pham, D.C., Vu, L.D., Nguyen, V.L. (2013), Bounds on the ranges of the con- ductive and elastic properties of randomly inhomogeneous materials. Philo- sophical Magazine93, pp.2229-2249.
2. Pham Duc Chinh and Vu Lam Dong (2012), Three-point correlation bounds on the effective bulk modulus of isotropic multicomponent materials.Vietnam Journal of Mechanics34, pp.67-77.
3. Vu Lam Dong and Pham Duc Chinh (2013), Construction of bounds on the ef- fective shear modulus of isotropic multicomponent materials. Vietnam Jour- nal of Mechanics 35, pp.275-283.
4. Vũ Lâm Đông, Phạm Đức Chính (2012). Đánh giá bậc 3 mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu đẳng hướng hai chiều nhiều thành phần. Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ IX Hà Nội, 8-9/12/2012, tập 2 (phần 1), tr.303-312.
5. Vũ Lâm Đông, Phạm Đức Chính và Trần Bảo Việt (2013).Đánh giá biến phân và tính toán số PTHH cho các hệ số đàn hồi vật liệu tổ hợp đẳng hướng ngang.
Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI Thành phố Hồ Chí Minh, 7-9/11/2013, tập 1, tr.418-427.
6. Trần Bảo Việt, Vũ Lâm Đông và Phạm Đức Chính (2014). Mô phỏng số PTHH và đánh giá các hệ số đàn hồi vật liệu cốt sợi dọc trục đẳng hướng ngang.Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học Kỹ thuật toàn quốc Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, 10/4/1979-10/4/2014, tập 2, tr.443-448.
Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Đức Chính (1996), Đánh giá các tính chất cơ lý của vật liệu tổ hợp đẳng hướng và đa tinh thể. Luận án tiến sỹ toán lý, Hà Nội.
[2] Babúska, I., Miller, A.D. (1987), "A feedback finite element method with a-posteriori error estimation", Part I. Computer Methods in Applied Me- chanics and Engineering61, pp.1–40.
[3] Batchelor, G.K. and Green, J.T. (1972), "The hydrodynamic interaction of two small freely-moving spheres in a linear flow field", J. Fluid Mech.56, 375.
[4] Bathe, K.J. (1996), Finite element procedures, Prentice-Hall.
[5] Becker, E.B., Carey, G.F. and Oden, J.T. (1980), Finite elements: an intro- duction, Prentice- Hall.
[6] Beran, M.J. (1968),Statistical continuum theories, Wiley, New York.
[7] Bonet, J., Wood, R.D. (1997), Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis, Cambridge University Press.
[8] Bruno, O.P. (1991), "Taylor expansions and bounds for the effective con- ductivity and the effective elastic moduli of multicomponent composites and polycrystals" A symptotic Analysis4, pp.339-365.
[9] Budiansky, B. (1965), "On the elastic moduli of some heterogeneous mate- rials", J. Mech. Phys. Solids,13, pp.223-227.
[10] Budiansky, B. (1970), "Thermal and thermoelastic properties of isotropic composites",J. Comp. Mater., 4, pp.286.
[11] Buryachenko, V. (2007),Micromechanics of Heterogeneous Materials, Sp- inger Press.
[12] Carne, T.G. (1976), "Load absorption and interaction of two adjacent fila- ments in a fiber-reinfoced materials" J. Elasticity6, pp.1.
[13] Chateau X, BV Tran (2009), "Influence of the Temperature on the Behav- ior of Unsaturated Porous Media: A Micromechanical Approach", 4th Biot Conference on Poromechanics, Columbia Univ, New York.
[14] Chen, H.S. and Acrivos, A. (1978), "The solution of the equations of linear elasticity for an infinite region containing two spherical inclusions" Int. J. Solids Structures,14, pp.331.
[15] Chen, H.S. and Acrivos, A. (1978), "The effective elastic moduli of compos- ite materials containing spherical inclusions at non-dilute concentrations"
Int. J. Solids Structures, 14, pp.349.
[16] Christensen, R.M. and Lo, K.H. (1979), "Solutions for effective shear prop- erties in three phase and cylinder models", J. Mech. Phys. Solids,27.
[17] Courant, R. (1943), "Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration", Bulletin of the American Mathematical Society,
49, pp.1–23.
[18] Dormieux, L., Kondo, D. and Ulm, F. J. (2006),Microporomechanics. John Wiley, England.
[19] Einstein, A. (1905), "Eine neue bestimmung der Molekuldimensionen",
Ann. Physik,19, pp.289-306.
[20] Eshelby, J.D. (1957), "The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems", Proc. R. Soc. Lond.,A 41, pp.376-396.
[21] Fernandino, D.O., Cisilino, A.P., Boeri, R.E. (2015), "Determination of ef- fective elastic properties of ferritic ductile cast iron by computational ho- mogenization, micrographs and microindentation tests", Mechanics of Ma- terials,83, pp.110–121.
[22] Fish, J. and Wagiman, A. (1993), "Multiscale finite element method for a locally nonperiodic heterogeneous medium", Computational Machanics,
12, pp.164–180.
[23] Francfort, G.A. and Murat, F. (1986), "Homogenization and optimal bounds in linear elasticity", Arch. Rational Mech. Anal., 94, pp.307-334.
[24] Frankel, N.A. and Acrivos , A. (1967), "On the viscosity of a concentrated suspension of solid sphere", Chem. Engng. Sci.,22, pp.847.
[25] Ghosh, S. and Moorthy, S. (1995), "Elastic-plastic analysis of arbitrary heterogeneous materials with the Voronoi Cell finite element method",
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 121, pp.1–4, 373–409.
[26] Guedes, J.M., Kikuchi, N. (1990), "Preprocessing and postprocessing for materials based on the homogenization method with adaptive finite element methods" Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 83, pp.143–198.
[27] Hale, D.K. (1976), "The physical properties of composite materials" J. Mater. Sci.,11, pp.2105-2141.
[28] Hashin, Z. and Shtrikman, S. (1963), "A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials",J. Mech. Phys. Solids,11, pp.127-140.
[29] Hershey, A.V. (1954), "The elasticity of an isotropic aggregate of anisotropic cubic crystals", J. Appl. Mech.,21, pp.236.
[30] Hill, R. (1952), "The elastic behaviour of a crystalline aggregate", Pro. Phys. Soc, A65, pp.349–354.
[31] Hughes, T.J.R. (1989),The finite element method, Prentice Hall.
[32] Kelly, D.W., Gago, J.R., Zienkiewicz, O.C., Babúska, I. (1983), "A poste- riori error analysis and adaptive processes in the finite element method",
Part I-error analysis. The International Journal for Numerical Methods in Engineering 19, pp.1593–1619.
[33] Kroner, E. (1958), "Berechnung der elastichen Konstanten des Vielkristalss aus den Konstanten des Einkristalls", Z. Phys., bf 151, pp.504.
[34] Ladeveze, P., Leguillon, D. (1983), "Error estimate procedure in the finite element method and applications", SIAM Journal of Numerical Analysis,
[35] Lewis, R.W., Schrefler, B.A. (1998),The finite element method in the static and dynamic deformation and consolidation of porous media, 2nd edition, Wiley press.
[36] Maxwell, J.C. (1892),A treatise on electricity and magnetism. V.1 Claven- don Press, Oxford, p.440.
[37] McLaughlin, R (1977)., "A study of the differential scheme for composite materials",Int. J. Engng. Sci,15, pp.237-244.
[38] McPhedran, R.C., Poladian, L., Milton, G.W. (1988), "Asymptotic studies of closely spaced highly conducting cylinders", Proc.R. Soc. Lond. A, 415, pp.185-196.
[39] Michel, J.C., Moulinec, H., Suquet, P. (1999), "Effective properties of composite materials with periodic microstructure: a computational ap- proach", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 172, pp.109–143.
[40] Miller, M.N. (1969), "Bounds for the effective elastic bulk modulus of het- erogeneous materials",J. Math. Phys., 10, pp.2005-2013.
[41] Milton, G.W. (1982), "Bounds on the elastic and transport properties of two-component composites",J. Mech. Phys. Solids, 30, pp.177-191.
[42] Milton, G.W. and Phan-Thien, N. (1982), "Bounds on the effective elastic moduli of two-component materials", Proc. R. Soc. London, Ser. A, 380, pp.305-331.
[43] Milton, G.W. (2004), The Theory of Composites, Cambridge University Press.
[44] Mori, T. and Tanaka, K. (1973), "Average stress in matrix and average elas- tic energy of materials with misfitting inclusions",Acta Metall.,21, pp.571- 574.
[45] Nguyen Trung Kien, Nguyen Van Luat, Pham Duc Chinh (2013), "Estimat- ing effective conductivity of the unidirectional transverse isotropic compos- ites",Vietnam Journal of Mechanics 35, pp.203-213.
[46] Norris, A. N. (1985), "A differential scheme for the effective moduli of composites",Mech. Mat.,4, pp.1–16.
[47] Oden, J.T., Zohdi, T.I. (1997), "Analysis and adaptive modeling of highly heterogeneous elastic structures",ComputerMethods in Applied Mechanics and Engineering, 148, pp.367–391.
[48] Paul, B. (1960), "Prediction of elastic constants of multiphase materials",
Trans ASME, 218, pp.36.
[49] Pham, D.C. (1993), "Bounds on the effective shear modulus of multiphase materials",International Journal of Engineering Science,31, pp.11-17.
[50] Pham, D.C. (1994), "Bounds for the effective conductivity and elastic mod- uli of fully-disordered multicomponent materials",Archive for Rational Me- chanics and Analysis,127, pp.191-198.
[51] Pham, D.C. (1996), "On macroscopic conductivity and elastic properties of perfectly-random cell composites", International Journal of Solids and Structures 33, pp.1745-1755.
[52] Pham, D.C. (1997a), "Estimations for the overall properties of some isotropic locally-ordered composites", Acta Mechanica, 121, pp.177-190.
[53] Pham, D.C. (1997b), "Overall properties of planar quasisymmetric ran- domly inhomogeneous media: estimates and cell models", Physical Review E, 56, pp.652-660.
[54] Pham, D.C. (1998), "Bounds on the effective properties of some multiphase matrix mixtures of coated-sphere geometry", Mechanics of Materials, 27, pp.249-260.
[55] Pham, D.C. (1999), "On the elastic constants of transversely isotropic, quasisymmetric composites", ASME Journal of Applied Mechanics, 66, pp.262-264.
[56] Pham, D.C. (2000a), "Weighted self-consistent approximations for elastic completely random mixtures",Mechanics of Materials, 32, pp.463-470.
[57] Pham, D.C. (2000b), "Differential nonhomogeneous models for elastic ran- domly cracked solids", International Journal of Solids and Structures, 37, pp.7759-7768.
[58] Pham, D.C. (2001), "Effective medium models for conductivity of randomly cracked locally nonhomogeneous materials",Acta Materialia, 49, pp.3333- 3336.
[59] Pham, D.C.(2007), "Three-point interpolation approximation for the macro- scopic properties of isotropic two-component materials", Philosophical Magazine,87, pp.3531-3544.
[60] Pham, D.C. (2008), "Weighted effective medium approximations for con- ductivity of random composites", International Journal of Heat and Mass Transfer, 51, pp.3355-3361.
[61] Pham, D.C. (2009), "On the macroscopic elastic moduli of inhomogeneous materials and random orthorhombic polycrystals", Acta Mechanica, 206, pp.59-68.
[62] Pham, D.C. (2012), "Bounds on the elastic moduli of statistically isotropic multicomponent materials and random cell polycrystals", International Journal of Solids and Structures,49, pp.2646-2659.
[63] Pham, D.C., Phan-Thien, N. (1998), "Bounds and extremal elastic moduli of isotropic quasi-symmetric multicomponent materials", International Jour- nal of Engineering Science, 36, pp.273-281.
[64] Pham, D.C., Torquato, S. (2003), Strong-contrast expansions and approxi- mations for the effective conductivity of isotropic multiphase composites.
Journal of Applied Physics 94, 6591-6602.
[65] Pham, D.C., Tran, A.B., Do, Q.H. (2013a), "On the effective medium ap- proximations for the properties of isotropic multicomponent matrix-based composites",International Journal of Engineering Science 68, pp.75-85.
[66] Phan-Thien, N., Milton, G.W. (1983), New third-order bounds on the effec- tive moduli of N-phase composites. Q. Appl. Math.41, 59-74.
[67] Phan-Thien, N., Pham, D.C. (1997), Differential multiphase models for polydispersed suspensions and particulate solids. Journal of Non- Newtonian Fluid Mechanics72, 305-318.
[68] Rayleigh, L. (1892), "On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the properties of a medium", Philos. Mag., 34, pp.481.
[69] Roscoe, R. (1952),Brit. J. Appl. Phys.,3, pp.267.
[70] Roscoe, R. (1973),Rheol. Acta.,12, pp.404.
[71] Reuss, A. (1929), "Berechnung der Fliessgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatsbedingung fur Einkristalle",ZAMM 9, pp.49–58.
[72] Silnutzer, N. (1972), Ph.D. Thesis, University of Pensynvania, Philaden- phia.
[73] Szabo, B. and Babúska, I. (1991), Finite element analysis, Wiley Inter- science.
[74] A.B. Tran, J. Yvonnet, Q. C. He, C. Toulemonde, J. Sanahuja (2013), "A four-scale homogenization analysis of creep of a nuclear containment struc- ture", Nuclear Engineering and Design,265, pp.712–726.
[75] AB Tran and DC Pham, (2015) "Polarization approximations for the macro- scopic elastic constants of transversely isotropic multicomponent unidirec- tional fiber composites",Compos. Mater.
[76] B. V. Tran, D.C. Pham and T.H.G. Nguyen (2015), "Equivalent-inclusion approach and effective medium approximations for elastic moduli of com- pound inclusion composites", Archive of Applied Mechanics(accepted).
[77] Torquato, S. (2002), Random Heterogeneous Materials, Springer.
[78] Vemaganti, K.S., Oden, J.T. (2001), "Estimation of local modeling er- ror and goaloriented adaptive modeling of heterogeneous materials",
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190, 46–47, pp.6089–6124.
[79] Voigt, W. (1928),Lehrbuch der Krystallphysik., Teuber, Leipzig.
[80] Walpole, L.J. (1966), "On bounds for the overall elastic moduli of inhomo- geneous systems", J. Mech. Phys. Solids,14, pp.151–162.
[81] Wiener, O.(1912). Abhandl, Math.-Phys. KL. Konigl. Sachsischen Ges, 32, pp.509.
[82] Willis, J.R. (1977), "Bounds and self-consistent estimates for the overall moduli of anisotropic composites", J. Mech. Phys. Solids,25, pp.185.
[83] Wriggers, P. (2001), Nichtlineare Finite-Element-Methoden, Springer- Verlag.
[84] Zohdi, T.I., Feucht, M., Gross, D. and Wriggers, P. (1998), "A description of macroscopic damage via microstructural relaxation", The International