Ví dụ cuối khi xem xét vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn có cùng kích cỡ sắp xếp tuần hoàn theo dạng hình lục giác đều (LGD) (hình 3.7a) trong khoảngv2 = 0.1 →0.7 vớiK1 = 1, µ1 = 0.5, K2 = 10, µ2 = 5. Hai tham sốζ1(hoặc ζ2) vàη1
(hoặcη2) cho loại vật liệu này được đưa ra trong [77].
Tham sốζ2cho loại vật liệu này đã được đưa ra trong bảng 2.3 thuộc chương 2, còn tham sốη2 được trình bày trong bảng 3.5 dưới đây.
Bảng 3.5 Thông tin hình học bậc baη2 đối với vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn sắp xếp tuần hoàn hình lục giác đều
v2 η2 0.00 0.000 0.10 0.0005 0.20 0.02 0.30 0.045 0.40 0.125 0.50 0.24 0.60 0.37 0.70 0.44 0.80 0.47 (a) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 v 2 µ eff HS LGD (b)
Hình 3.7: Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu quả của vật liệu tuần hoàn hình lục giác đều(LGD). (a) Cấu trúc vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng hình lục giác đều. (b) Đồ thị đường biên HS và (LGD). (a) Cấu trúc vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng hình lục giác đều. (b) Đồ thị đường biên HS và LGD
Kết quả cho thấy đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu quả của vật liệu tuần hoàn (LGD) nằm trong kết quả tính theo HS.
Các kết quả trong mục này đã được công bố trong các công trình khoa học 1., 3. và 5.
3.5. Kết luận
Trên đây là kết quả xây dựng biên trên và biên dưới cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô µef f của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu.
Trường khả dĩ mở rộng mà tác giả đưa ra tổng quát hơn so với trường khả dĩ phân cực Hashin-Shtrikman được sử dụng trong Phạm Đức Chính [1], Pham [49] giúp cho kết quả tốt hơn những đánh giá trước đây. Việc đưa hàm thế điều hòa và thế song điều hòa nhằm mô tả thông tin của vật liệu một cách tường minh tuy nhiên việc giải bài toán cũng phức tạp hơn hẳn (so với việc xây dựng đánh giá mô đun đàn hồi thể tíchkef f hoặc diện tíchKef f).
Trường khả dĩ chứa 2N − 2 tham số tự do so với 2 biến tự do là k0, µ0 của [1],[49] giúp cho đánh giá tốt hơn khi N ≥ 3. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để tối ưu phiếm hàm có ràng buộc.
Bài toán được xây dựng trong trường hợp không giandchiều có tính tổng quát xác định được kết quả trong bất cứ trường hợp nào, các kết quả ngắn gọn giúp cho công việc lập chương trình tính toán khá đơn giản. Tác giả cũng đã áp dụng cho một số mô hình cụ thể: vật liệu tựa đối xứng, quả cầu ngẫu nhiên lồng nhau...
Trong chương này những điểm mới của nội dung nghiên cứu đã được thể hiện thông qua các công trình khoa học đã công bố 1., 3. và 5.
Chương 4
PHƯƠNG PHÁP PTHH ÁP DỤNG CHO VẬT LIỆU TUẦN HOÀN NHIỀU THÀNH PHẦN
Như đã trình bày ở các chương trước, nghiệm bài toán tìm được thông qua phương pháp biến phân là nghiệm giải tích và bán giải tích. Phương pháp mô phỏng số hiện nay đang được các nhà khoa học sử dụng thường xuyên do cấu hình phần cứng máy tính càng trở nên mạnh mẽ hơn, phù hợp khi tìm trực tiếp các hệ số mô đun đàn hồi trong cả trường hợp vật liệu có dạng hình học phức tạp.
Chương này mô tả lý thuyết đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn, các giả thiết đưa ra để áp dụng tính toán phương pháp PTHH chạy trên nền mã nguồn mở của chương trình CAST3M (Pháp). Kết quả tính toán các hệ số đàn hồi cho một mô hình vật liệu tuần hoàn cụ thể được tác giả so sánh với các đánh giá đã xây dựng trong chương 2 và chương 3.
4.1. Đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn
Ý tưởng của lý thuyết vật liệu tuần hoàn là các thông tin cơ bản liên quan tới các tính chất vật lý của các thành phần và hình thái của các vi cấu trúc có thể được lưu giữ trong một cấu trúc cơ sở (nhân tuần hoàn - periodic cell). Sau đó, một mô hình tuần hoàn cho các vật liệu thực tế có thể đạt được bằng cách làm đầy toàn bộ không gian với cấu trúc cơ sở này một cách tuần hoàn.
Dựa theo lý thuyết đồng nhất hóa, các tính toán được quy về trên phần tử đặc trưng. Để giải quyết bài toán ta coi rằng phần tử đặc trưng của vật liệu nghiên cứu ký hiệuΩchịu tác động bởi một trường biến dạng đồng nhấtE. Trường biến dạng này được tạo ra bởi một trường ứng suất trung bình trên toàn miềnΣ.
Trong trường hợp đàn hồi tuyến tính, tenxơ đàn hồi hiệu quả của vật liệu được xác định dựa theo định luật Hook:
Σ= Cef f :E (4.1)
Như vậy vấn đề lớn nhất của bài toán là cần xác định giá trị ứng suất trung bình
Hình 4.1: Cấu trúc cơ sở của vật liệu tuần hoàn
miềnΩcủa trường ứng suất vi môσ(x)vớix ∈ Ω:
Σ = ⟨σ(x)⟩Ω . (4.2)
Do vật liệu có cấu trúc tuần hoàn được tạo thành từ các phần tử cơ sở (nhân tuần hoàn) ký hiệu là U, giả sử có dạng hình hộp với chiều dài 3 cạnh theo 3 phương lần lượt làa1, a2, a3. Trường ứng suất vi môσ(x)có đặc điểm (Dormieux [18]):
σ(x) =σ(x+n1a1e1+n2a2e2+n3a3e3) , n1, n2, n3 ∈ N , (4.3) và do đó:
Σ =⟨σ(x)⟩Ω = ⟨σ(x)⟩U . (4.4) Trường chuyển vị tương ứng ký hiệu làu(x) với:
u(x) = E.x+u′(x) , (4.5)
trong đó u′(x) là trường chuyển vị rối loạn (nhiễu), được hình thành do sự xuất hiện các pha cốt trên vật liệu nền, do đó trường biến dạng tương ứng:
ε(x) = E+ε′(x) . (4.6)
Trườngu′(x)là trường chuyển vị tuần hoàn, vì vậy:
⟨ε′(x)⟩U = 0 =⇒ ⟨ε(x)⟩U = E . (4.7) Từ các đặc điểm tuần hòan của trường ứng suất và biến dạng, ta nhận thấy rằng bài toán trên miềnΩ(phương trình 4.1 và 4.2) có thể được giải quyết trên phần tử cơ sởU.
Phương trình bài toán có dạng (Dormieux [18]): divσ(x) = 0 ∈ U σ(x) = C(x) : (E+ε′(x)) ∈ U u(x) = E.x+u′(x) ∈ U
u′(x) : tuần hoàn ∈ ∂U
σ(x)·n: phản tuần hoàn ∈ ∂U
, (4.8)
vớinlà véc tơ pháp tuyến trên biên∈ ∂U.
Cũng cần nói thêm rằng, khác với miền Ωđược coi là vô hạn, kích thước phần tử U là đủ nhỏ để có thể xây dựng mô hình phần tử và giải quyết được bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn.