Trong trường hợp vật liệu hai pha, thông tin hình học bậc ba của vật liệu Aβγα
được biểu diễn phụ thuộc vào một thông sốζα (Pham [64]):
A11α = A22α = −A12α = d−1
d v1v2ζα , α = 1,2 ζ1+ζ2 = 1 , 0 ≤ ζ1, ζ2 ≤ 1
(2.41)
Đối với mô hình quả cầu lồng nhau hai thành phần Hashin-Shtrikman với các kích thước khác nhau được điền đầy khoảng trống không gian vật liệu nhưng tỷ lệ thể tích giữa các thành phần trong các quả cầu là như nhau (hình 2.2a), các thông sốζα được xác định chính xác (Pham [52],[64]). Đặc biệtζ2 = 1nếu pha 2 là pha nền vàζ2 = 0nếu pha 2 là pha cốt liệu. Ở đây biên trên (2.22) và biên dưới (2.39) của mô đun đàn hồi thể tích cùng hội tụ về một giá trị duy nhất, và giá trị này trùng với biên trên (hoặc dưới) của biên Hashin- Shtrikman nếu pha 2 là pha nền (hoặc pha cốt liệu) với thông số µ2 > µ1. Hình 2.2c biểu diễn giá trị chính xác của mô đun vĩ mô vật liệu quả cầu lồng nhau hai thành phần, so sánh với biên trên hoặc dưới theo đánh giá Hashin-Shtrikman trong phạm vi khảo sátv2 = 0.1 → 0.9, với
k1 = 1, µ1 = 0.3, k2 = 20, µ2 = 10(chuẩn hóa theo k1).
Đối với vật liệu hai thành phần dạng hỗn hợp cầu tựa đối xứng (hình 2.2b) không phân biệt rõ ràng giữa pha cốt liệu và pha nền, ta có ζα = vα (Pham [64], Torquato [77]). Biên trên và biên dưới cho nhóm vật liệu này được biểu diễn trên hình 2.2c. Mặc dù nghiệm không hội tụ về một giá trị nhưng nó vẫn nằm trong biên của HS.
Trong trường hợp hai chiều ứng với dạng vật liệu trụ tròn (ống) kéo dài theo 1 phương, vật liệu trụ tròn (ống) lồng nhau có mặt cắt theo phương ngang như hình 2.3a, vật liệu trụ (ống) sắp đặt điền đầy tựa đối xứng, hình 2.3b. Mô đunK
(a) (b) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 v 2 k eff HS DXC 3D (c)
Hình 2.2: Biên của mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp dạng quả cầu lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng cầu đối xứng. (a) Quả cầu lồng nhau; (b) Hỗn hợp dạng cầu đối xứng; (c) HS - Biên trên và biên dưới Hashin-Shtrikman tương ứng với giá trị mô đun đàn hồi thể tích chính xác của vật liệu quả cầu lồng nhauζ2= 1vàζ1= 0, DXC 3D - Biên trên và biên dưới cho vật liệu tổ hợp đối xứng dạng cầu
diễn giá trị chính xác của mô đun vĩ mô vật liệu hình tròn lồng nhau hai thành phần, so sánh với biên trên hoặc dưới theo đánh giá HS trong phạm vi khảo sát
v2 = 0.1 → 0.9, với K1 = 1, µ1 = 0.3, K2 = 5, µ2 = 2.5.
Để khảo sát ảnh hưởng của tính chất vật liệu tới các đánh giá, tác giả đã thực hiện khảo sát giá trịK2/K1 trong khoảng từ 1 → 10 tại v2 = 0.5, các hệ số khác
µ2 = 2
5K2, µ1 = 2
5K1, cho kết quả như hình 2.4. Các kết quả so sánh gồm đánh
giá của Voigt, Reuss, các đường biên của HS và đường biên DXC 2D.
Nhận xét: Qua hình 2.4 ta thấy các đánh giá càng có xu thế tách xa nhau khi
K2 ≫ K1 và đều hội tụ tới giá trị K1 khiK2 → K1. Đánh giá càng hẹp (nhất là đánh giá bậc ba của luận án) thì hội tụ càng nhanh - sai khác chỉ còn rất nhỏ khi
(a) (b) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 v 2 K eff HS DXC 2D (c)
Hình 2.3: Biên của mô đun đàn hồi diện tích vật liệu tổ hợp dạng mặt cắt ngang hình tròn lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng mặt cắt tròn đối xứng. (a) Hình tròn lồng nhau; (b) Dạng mặt cắt tròn đối xứng; (c) HS - Biên trên và biên dưới Hashin-Shtrikman, DXC 2D - Biên trên và biên dưới cho vật liệu tổ hợp đối xứng dạng hình tròn
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 K 2/K 1 K eff VOIGT HS DXC 2D REUSS