l»»T 'V r» - f »-™.t f f t- (3-56a) (3-56b) (.3-57a) (3-57b) t r o n g cto ^ _ m ^ mn ^ con 9 ^ va K % ^ - *» w
•nitvt- ti^'^'iog u!ng ì^ cac bg so qiiay .10ex va
ììt mixi^b
tenxC cong Riemann t r o n g hf t e t r a i anli sang .
Sú dyxig 12 hf so s'"'in ^ , ^ , . . . tron,'-' b.xnh thiíc li
TTewman - Penrose I34 1 9 t a co b i e u d i e n ma t r j n cùa cac i^rt nhú
sau : -uan r, - £ - ; r r,= - * ' 1; = r p rf^ / - - • < 5 = « ^ \ 5 ' ^J (;-ss)
- 55
Tiep do ', neu ky h i
* r
tti»-.-n<r tìn;T iB. cSc thành -^an ĩ.ạ tenxĩ l ' s y l , tenxĩ -^Ucci v.à do
c o n - vS hiltn:: t r o n g hinh thíc l i i | n Hevmmn - Penrose , t a c"mg-, cọ h i g u d i e n m t r j n tTifng tij' cJa céc cùbnK <lĩ tr^Aina- F . ^'ol r i S n -
mn t r o n g trubn.r hQ-p cb.àn hJionp: , co : «< 13 ^i if; oz 1 = \ % V '(2. = o (5-5?) M
Cịiồ cung , v i e t 1;^'^ '^^^ uhub'ng t r ì n h (3-47) va (3-4£) qua f^ va F^^ , r o i sú dyng cac cong thúc (5-5c0 , (3-55) » t a t h u dyb'c l ^ i cac phuvng t r i n h (4-2) va (4-5) cu^ Te-v/m^n va Fenrose raĩ t à trà.bng ha,u dan t r o n g chan khong l 5 4 ( •
Z':hú v^y n 9 i dung ciia cac phub^ig txunh ^3"47) va (5-4^^0' da
dyb'c lam sang t o . biz diem. cua chung l a dyb'c z'o:y r a - t u ' mot Lagrangian
dg.ng Yang - M i l l s (3-46) . Tuy n h i e n cach t i e p c^-n này co mot so
nhyb'c diem co* ban can Isr sang r o « Tnib'c h e t , cac phubng t r i n h
( 3 - 4 7 ) va ( 3 - 4 B ) khong dich thúc l a phụb^ng t r ì n h E i n s t e i n . Be sú dung chung lam phubng t r ì n h lao t a t r ù b n g hap dan , chung t a vàn p h a i can den phubng t r i n h n i i n s t e i n R := 0 , Ichong p h r l vĩi tú
- 56
cach m9t phubng t r ì n l i trub'ng , liià v ĩ i tú caoh mot .lí"n he Cù^l so djàm bao cho phubng trxnli (3-46) dan den dung cteiig thúc i3ianchi
t r o n g chan khong . Iliub'c diem thú h a i l à Idii co them cac t r ù b n g v ^ t c h a t Ichac , sý t i n l i tooji cu t]ie cho tliâr (3-4^'j dàn den nhulig h9 thúc Ichong con tribug thxch v ' i phubng t r ì n h E i n s t e i n nSi . Dx
n h i e n co t h e khac phyc txnri t r ^ n g này bang cach sife doi 1^1 Lagran-
friaìi ( 3 - 4 6 ) ffl9t cach t h i c h h9p « iliung k h i do , r o r à n g dgjig Yang-
K i l l s CU5, l a g r a n g i a n ' se bj, phạ vé . 'Jrong txniri hinh nhú v^^y, chung
t o i cho r a n g t o t hon ca l a nen sú dung Lagrangian (3-55) • Lagran- g i a n nay khong co d§,ng Yang - M i l l s , nhisng hoan t o a n phu hg'p voi
rhSng nguyen l y co* sĩ cita l y t h u y e t t n i b n g chuan va dan à.en pliubng t r x n h E i n s t e i n mot cach dimg ^Ss^ •
3 . 4 ^S'C phubng t r i n h E i n s t e i n - Kaxwell
Trong cac l y t h u y e t nham tim sý thon,;- nhat giu^ l:^p dan va d i | n tú , n,.2Ùb'i t a ?/eu cau t r ù b n g di^n tịí , cun.y rihu* trúong hạp dan , p h a i là. m9t b i e u h i f u cua Idiong - t h o l g i a n chú ichong phai c h i l à mot h i e n t y b n g khac b i e t cong them vào l y t h u y e t - Cac no lụ'c aS-u t i e n nhan g i à i quy e t theo hubng do cS dyb'c thýc h i e n boi Kaluza va K l e i n t r o n g m^t l y t h u y e t ve khong g i a n 5 c h i e u , va boi E i n s t e i n t r o n g mot l y t ' u i y e t lihong - t h ị l g i a n v o i m e t r i c khong doi ximg [35 ] . 3o cĩc he qua v.^t l y chtfe dybc t h o a dang cixa cà h a i - l y t h u y e t neu t r e n , nen-den nx>.y b à i t o a n thong nliat hap dàn v a d i | n tú vàn thùbng xiiyen dyb'c n h i e u t a c g i à qi^an tam g i a i
quyet •
- 57 -
à day , cium/: t a 'je tiiày rivn!: , sú thozìg uhàt do co kha nSxig
dijịbc thyb h i e n mot cach V-can t o a n tú n^iien neu x é t ' t h e o quan diem trụbn,-;: chuan tíong hxnh thiíc lugn b i n u a t e r n i o n .
a« Mé rong PJIOÌ.! aox rân,"; cm.ian
'rong IÌ;UC 3«3 ? chau^'g t a da xay dun;: ti^.bn.-: hap dan coi nhú
t r ù b n g cnuan ung voa nhom doi :^3ì*rir, u ' I , ' ) ) l a nhom cac pnep oie ri
eu
doi he n-'..iY c h i e u :
(T^ . ^ U^) ^ L*C^) , IMKK) = T r3_6o)
bao t o a n t i c h vo hubng :
^ . <^. = è,^. (3-Sl)
l l a m g nhĩm b i e n ĩ:ĩi (3-60) ro r a n g co th*.é nĩ rong hcii . Thýc v^y , d^t :
Q(x) =. e:cp ( i o A (x> ) L ( : : ) , , (3-62)
t r o n g do A (x) l à mot liàrn, t ù y y cùa t o a do , q l à ir.ot han;-!: co ( sau này se cho t u b n g ung v o i dien t i c h cua h^,t ) . ' h i do , h i e n n h i e n h | thtíc ( 3 - 6 l ) b à t b i e n doi v ĩ i phép b i e n doi :
<r ^ Q W < ^ Q^(^) (3-^3)
Do cĩc c%i lubny e:cp(iqA t'x)) t^.o thànli nliĩm TT(I) , nen
thýc ciiat cùa nliĩm ré r ^ n g l à nJiĩm chụan U f l , j,) x uYl) . Sụ' m.c
")b
r9n,-^ này keo t h e o nhung t h a y doi Uibng ung ve CÌP.Q hh' A ., . ri
.eu Mxou t h e chuTJi va ti^i^'n.'-- c'ii-'^-.n .
Ky h i e u 0:^0 hàm hi^-n b i e n t r o n g t r ù b n g hot) r]p..j. l à ^ , t a c(
(5-64)
t r o n g cto :
!hay Q(X^ t h e o cong thúc (3-62) , tú (3-65) suy r a
r r + iqA
^ r5-S6)
tron;.' do '-^ 1*. •':x^-'^ % A
er-tr/ hì--aLa"'"cx'}iion 'ihaii l i e n ho"''' ^ i7 — - C \
con A l a ^•'9t t r : . b n ' ' v-^ctĩ tliýc tlion;:; lihubng , v o i cac nray lixnt
b i e n doi : 4» "" #* ^ é^ y • 1 (5-67aì (3-67b) Trubn.^::' chupn : F.V >f - w
v o i Qịiy li-i^t b i e n doi
F (3-6?)
cung phan ths^nh :
t r o n g do :
' ^ v -= | . e - ^ v f . +- f e , ' J . J (3-71a)
v o i nu:/- lu^.t b i e n doi :
P ^ ^ = L F ^ ^ L - ' 0 - 7 2 a )
f p == f^^>^ (3-721^)
b . Oac ": hubng trxnli E i n s t e i n - liax\:oll
Sang tliúc e]IO '^ấVì t h i é t I5.P moi qi^pu h9 / l u b t h o chuan' 1 ^ ,
t r ù b n g chuan F . vĩi txiibng 5 7 . t r o n / ; t r ù b n g .h9'p nây l a :
M'^
>
\ ^ ^ - <>
Tuy n h i e n , tú (3-73) chung t a ' c h x suy dybc I5.Ì cac con^.. tuúc l i e n he ( 3 - 2 7 ) va ( 3 - 3 l ) 9 eịn t ' i e A vnji l a n9t bíen doc l^/o,
Do dị ch.ung -ta chon Lagrangian cun. trácng chi--n t y io 1
f <f ri A A ^ X ^ % .
trong do cac bien u9c lg,p la ^-^^^ va A •
s. ri * ^ ^ SP ^
5G
vt _ %
m^t do Lag3;*angian t o a n phan l a :
\'J' 75)
^ . . ri
Lay bien phan thoo UT va A . , ta dubc cĩc phubng trình :
j f,,---t^A%-^'-^) = K^Qt^-r^) • 3-76a) r:-j ^ r:-j ^ ^ J (5-76b) % t r o n g do : (3-77a) S<^^ = . 2 / J ^^'^ T^ (3-77h) ^<t - - ^ ^ ^ ^ r ^ . ( 3 - 7 7 C )
Cac phubng t r x n h ( 3 - 7 ^ ; chinl-j In. phụbng t r i n h Hìinc^tein -
I4ax\vell t r o n g h i n h thụb IU^JT biaiiatex^ìlon vx chx can itxlian vo }iubng h a i ve cua (3"76a) vĩi ^ t a se t h u dyb'c ;,:hubng t r x n h Jìlinstein v o i ve p h a i l a tenxĩ nang xuiig lybng cụa h^ (v^t c h a t ^ di^n t u ' ) .
Chung t a h^ay ":et m9t t r a b n g hgp cy t h è l:hi tinrong Tfg^t chat l a t r ù b n g cac fermlon dyb'c mo t a boi phub'ng t r x n h Dirac •
e . Cac phumig t r i n h Kinstein-liax^-zell-Dirac Xet, m^t d9 Lajgrangian cùa t r ù b n g J i r a c t y do :
- 61 -
Iiagrangian nay bàt b i è n doi v ĩ i nìiĩm bien ctoi to-^n ucú l f ( l ) X b ( l , 0
«f _ * . e x p ( i q A ) hf , ? . ^ exp(-iqA:^ L f
L;d^ L'^
YexL cau ve sý bat b i e n d^-hh xtí se t y don;r dan tĩi tubng tạc
cua t r ù b n g D i r a c vox txn^bng ị.i^n tú va t r ù b n g hap àcn , mo t a oĩi
mg,t d9 Lagrangian sau :
- l ^ f t . f A>
(5-70
Lay b i è n cihàn t h e o cac b i e n doc lS,p l à T" , T , ^ va A ., t a dyb'c cac r^hubng t r x n h :
r. js ini ^