Thay ^ theo cong thúc (3-9) > "^a lg,ico
trong do ^-'y là jac hf so auay Ricci :
V = f«v;J^y
(3-20
(3-25)
vĩi tinh chat :
- 48
Thay 'y tinh theo cong thíc ',3-27^ vào cong thúc (3-22) , ta co
"X . fl
Ngybc 1^:1 , t a -V-nr. co cong thiVc d i e n t a tenxc^ cong Riemann
qua trub'ng chuan F nhú sau :
^ Ai>v -^ Av ^ r ^ A V (3-52)
- ^ v ' ^ ^ ^ * ' + <'.»»>. (3-34)
Ben day can chii :,- l a chung t a chxCa he g i à t h i e t khong - t h o l g i a n p h a i con;:^ . Tuy nJh.ien cong thxíc ( 3 - 3 l ) cho t h a y neu bujc t r u b n y chuan F . l a mot trub'ng d9ng lýc khong t r i | t tieụ thx tenxĩ cong Riemann phai Idiac khong va do do khong - t h o l g i s n l a cong «
3«3 Cac phub'ng t r x n h •^trub'ng chuan cua trub'ng hap dan t r o n g . chạn'Ichong
Thong thub'ng dong lýc hoc cua trubUg chuan dub'c ::ay dylig nhu* t r o n g cong t r x n h k i n h d i e n cua Yang va M i l l a 1 1 j 9 túc l a t h e o k i e u d9ng lýc hoc cxv:, txubrig d i e n tú , t r o n g do c':,c t h e chuan L^ dyb'c
coi l à nhuvig b i e n doc i j p • llhu!ng nhúMnck & c h i vo t r o n L J 5 t i n h t h a n cĩ ban cua l y t h u y e t trub'ng chUan khong co 1 'o\ v i ph^m
AC
- 4
neu khong coi ' ^ l à nhúag b i e n ctoc l $ p , m<à phu thụoc vào nl-u^xo;
b i e n ce- ban hon nliú txaìb*ng h | quy cl.'iou CT,- C'.'^in-; li^n ,
u day chung t a se xét cà h a i cach t i e p cjn va r u t r a nhung
k e t iTi^n cạn t h i e t •
a . Cac phub^g t r x n h tzTubVig chxian vĩi bTen cĩ "^àn d[L Tú cac cong t h u c (3-13) va ( 3 - 2 l ) , co t h e t h a y m^.t a:o
Lagrạngian don g i a n nhat bat b i e n ctoi vĩi nh.ĩn Ufl,;:l) va l à mjt
d-^- vo hublig t r o n g phép b i e n doi t o a d9 t o n g quat l à :
Bẹ l a y b i e n ph*n cua, oL theo b i e n cĩ ban <JL,. , can chu y l à giúa à y ^ '•'•? ^'^ cun;-? co àcjig thúc sau day tubng t i / dang thúc
Palatini [3^!^ ',
SF^. = ^.C'-O- K('i-^) (5-36)
Tú do t h e o n.guyen l y ta,c dung t o i t h i e u suy r a phubng t r x n h
, a
t r u b ì i g :
^ . ^ ^ - l ^ v (%' ^ ' ^ ' ) - O ' 3 - 5 7 )
Can chu y r a n g phub'ng trxnii t r e n chinli l a phụ'ong t r x n h E i n s t e i n quen t h u 9 c cua, tn.iblig hap dan t r o n g chan khong • Thýc v§.y , nlian vo hubng h a i ve cua phub'ng t r x n h (3-57) vĩi Clj^ , va cmi y t o l cac h9 thúc ( 5 - 5 5 ) , (5-54) j t a dyb'c :
50 -
K§.c du cac phub'ng t r x r l i (3-57) va ( 3 - 3 0 8long nha-u , nhutig ve phub*ng dxfn hx''h thUc l u ^ co sý khac bxft cĩ ban can phan b i e t . Trong cac phubng trxnli (3-3^) » nhSng d^i lybng cĩ ban l a tenxĩ
m e t r i o ^^^ va khong xuat h i f n hdiai niem ve mot khong gian t r o n g .
T r a i l ^ i cac phubìig trxnli (3-57) nhan m^.nli t e i sý t i e p c^. i theo quan diém tn^bng chuan vx cac ct^i lyblig xuat h i e n t r o n g phubYig t r x n h do '^•"ji l i e n vĩi nhom bien doi ("3-13) cua h^ quy c h i e u t ^ i t-u!ng diem cua da t^-p khong - t h c l gi3,n .
Trong trub'ng hg'p co them cac trubing v^\ chat v o i m^,t d9
Lagrangian oc , t a ^e co m^t do Lagrar.í;lan t ị a n phan ( v|,t chat + hap dan ) l a :
^ '- ị^è-^. '««
fc>
t r o n g do E l à hàng so l i e n k e t cua trub'ng hap dan v c l v^.t'cliat ( K — T- , k l a bang so hap dan ifevrton ; .
- c ^ •
I^,y b i e n phan cua ( 3 - 3 0 t h e o ^ , dyb'c phub'ng trxnJi :
t r o n g do T l à not vecto" biqxiaterniou ctub'c ::ac djnh bel con.g thúc :
%i^ = - i t ^ S ^ ' - l (5.4,)
Gac -phub'ng t r i r J i (3-40) chinli l à d.giig phubng t r i n l i tn^Dlig
- ^1
nhan vo hub!ng hai ve cua (5-40) vĩi ^ , ta thu dyb'c phub'ng trình Einstein quen thuoc :
V - -2-">v « = K^^A»^ (3-42)
trong do :
\y = ''> • ^ (3-43) -
Yi ia§.t do Lagrâigian ok , trong cach tiè • ơw trub'ng chuan ,
hien nhien phai bat bien doi voi nhom chuan Tj(l3'4) « nen co the v^n dung cach chiùig nihh trong [32J cua •.,'einberg de cbx ra r ^ g T ^ , theo bieu thúc (5-4l) va (5-43) 9 hoan toan dap uJng cac yeu
cau can thiet cua mot tenxĩ nang :aing lybng , túc la :
T . ^ -^ T ^ (3-4^1)
va : ( T ^ ^ ) i - 0 (3-45)
b« Cac phubng t r x n h trùbn;-: chtian vĩi b i e n cĩ ban ^^
Trub'ng h^*^ nà.y t a co m.^t d9 Lagrangian quen thuoc ciia trub'ng chuan tú do :
« = -Ì>^L-f'%Ur.
t r o n g do :
^ '^^ • • -f t.b.j,. (5_45)
52
Ls.j b i e n phan (3-46) t h e o ' w va chri y t ĩ l h | thúc ( 5 - 3 6 ) , t a
dyb'c -'hub'ng trini». :
= o f3-48^
Cac phtiblig t r i n l i (5-47) » (3-4^') l à cac phubVig t r i n i i quen
t h u o c cua 1;^ •^-'^^^\-}r%t trù.biig chuan t>!eo k i e u Yar.."; - H i l l s . (*•' tĩy ,
chung se mo t a trub'ng hap dan t r o n g chan khong v o i d i e u k i | n l à co theị^. h i thúc (3-26) cho phep dien t à t h e Ut va cubÚ^'- d9'trub'ng F^^/
A * ^ % > * *. 0
qua h j 30 c^oấ R i c c i va tenxĩ cong Riemnun ( xern cac cong thúc ( 3 - 2 8 ) va (3-51) ) • Khi do (3-47) chinli l à phub'ng t r i n J i d i e n t i tenxĩ cong Riemann G_ua oac he so quả/" R i c c i , con (5-'?-'-.) l à dang thúc "Bianchi t r o n g chan khong « Bieu nả/" da dyb'c thýc h i ^ n cu t h e t r o n g J 331 ? t r o n g do tlia:/ t h e cho cac b i q u a t e r n i o n auen t h u j c v~ chung t o i dS dùng cac b i q u a t e r n i o n anh sang K (m =* 0 , l j 2 ; 3 ) de dita ( 3 - 4 7 ) va (3-4^-; ve cac phifrììig t r i n h hap dan t r o n g h:.ịh thúc l u 4 n Nev/man - Penrose J34j . 0' day , x i n nhac lg.i van t à t de t h a y them kha nang uhong phu cua cach t i e p c^n b i o u a t e r n i o n •
A ^ I H
gVínơ -':o v,";<r ^ij^)^ vào bon trub'ng vectĩ z ( m ^ s 0,1,2.3) b o i " * thúc : m m m K (3-4?) tronc; do : k m ]. "iì\ n h e v e c 1 1 0 e 4 i ' - ^ " J • (3-?C)
55 De t h a y ma t r ^ n C t h o a rfan he thíc