2. Phân hoạch đơn vị và sự mêtric hóa
2.2. Định lý 3.11 (Định lý mêtric hóa)
Đặt d (*,y) := y\L (v) — fs (y)|, \/x,ỵ G X thì d là mêtric trên X. Ta cần
S&S
chứng minh tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô trên X. Thật vậy,
Cho u là một tập mở, u cX và xeư. Ta tìm được teS sao cho X G //_1 (0,1] c u. Đặt V:={ye x \ d [ x , y ) < ft (x)| thì v \ ầ tập mở chứax. Ta
sẽ chứng minh V cư.
Bằng phương pháp phản chứng ta giả sử V ỰLU . Khi đó tồn tại
Vì yịư nên ft( y ) =0 suy ra d(x,y)>\ft(x)~ft(y)\ = ft(x)
(d(x,y) = y\fs{x)~fs(T)|) (mâu thuẫn). Do đó V cư
seS
Suy ra tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô trên X.
Áp dụng tính chất của phân hoạch đơn vị để chứng minh định lỷ mêtric
2.2. Định lý 3.11. (Định lýmêtric hóa) mêtric hóa)
57
Đổi với không gian tôpô 3 điều kiện sau là tưoĩig đưoĩig : a. Không gian mêtric hóa được.
b. Không gian chính qui cỏ một cơ sở ơ - hừu hạn địa phưoĩig mở. c. Không gian chính qui có một cơ sở ơ - rời rạc mở.
Chứng minh
(c => b) hiển nhiên vì một họ rời rạc là hữu hạn địa phưong. Ta cần
chứng minh (b =>■ aj và (ữ =>■ c)
Chứng minh (b =>■ a) Bước 1:
Ta xét trường hợp Xlà không gian chuẩn tắc.
X có một cơ sở ơ- hữu hạn địa phương mở. Ta chứng minh X mêtric
hóa được.
Giả sử Íí/ Ị , là một cơ sở mở trong Xsao cho \u Ị là hữu
l x’n i (s,n)eSxN • b l J s€S
hạn địa phương với mỗi n.
Ta giả sử ịu Ị là một phủ mở của X với mỗi n G N. Khi đó mỗi tập là hợp đếm được của các tập con của Fn. Ở đây Fn là hợp các bao đóng
usnsao cho cl(Us/t)cU
Vì vậy mỗi (j,w) G s X N, Us n = f~J (0,1] với fs n: X —> [0,1] là hàm số liên tục. Bây giờ ta đặt fn := n thì fn là hàm số liên tục từ không gian X
s€S
Bằng cách thay fsn bằng - ta có thể giả sử fn=ì. Đặt gsn = fsn2 n
J n
thì ơ cảm sinh môt phân hoach đơn vi íc V . trên X và V,„ = ^(04],V(Í,»)€S X N tạo thành một cơ sở lân cận mở.
Theo định lý 3.8 không gian X mê tri c hóa được.
Bước 2
Chứng minh X là không gian chuẩn tắc. Ta chúng minh với hai tập con
đóng A, B bất kì không giao nhau trong X, tồn tại các tập mở u và V sao cho
AcU, BcV và ơny = 0. Thật vậy,
Ả là tập con đóng của không gian chính qui X nên trên X có một họ đếm được các tập mở {ơn}°^ phủ A sao cho B ncl{Un) — 0 với mỗi n.
Tương tự trên X có một họ đếm được các tập mở ịvn }°°= phủ B sao cho
A n clVn) = 0 với mỗi n.
Đặt un:=un\ucl(vt),v>v.\ UI clthì là phủ mờ của
A, ịvn I _ là phủ mở của B và Un n Vm = 0 \/m,n
Cuối cùng, đặt u := ưk, V := Vk thì u D A , v D B và ơ n v = 0
k=1 k=l
Vậy Xlà không gian chuẩn tắc. Chứng minh (a=^ c)
59
Để chứng minh điều này, ta xét định lý sau đây, mục đích chúng ta muốn chỉ ra rằng mỗi phủ mở bất kì của không gian mêtric hóa có cái mịn
ơ — rời rạc mở.
Định lý 3.12
Mỗi phủ mở của một không gian mêtric hoả có một cái mịn ơ - rời rạc mở.
Định lý là một áp dụng đạo hàm của phân hoạch đơn vị trên không gian mêtric hoá.
Chứng minh
Với bất kì phân hoạch đon vị / = {/5} s trên X, đặt ưs := f~l (0,1] thì
{Ut}â s là phủ mở của X. Ta chứng minh ị ư s s có một cái mịn ơ - rời rạc mở.
Cho Ị/r 1 là đạo hàm của/
Bằng cách chỉ xét nhũng tập T có lực lượng là n thì các
UT jx G XI fT(x) > 0 j rời nhau.
Gọi [umn) là họ bao gồm các tập ưTm := ịx G x\ fT(x)> — I với
Khi đó ịum n} là hữu hạn địa phuơng và bao đóng của các Um n là rời
nhau. Suy ra họ ịumnỊ là ơ - rời rạc mở và mỗi Umn được chứa trong Usnào
đó (sGS)
Áp dụng định lý 3.12 ta suy ra rằng mỗi không gian tôpô mêtric hóa được có một cơ sở ơ - rời rạc mở, bởi vì mỗi cái phủ gồm tất cả các hình cầu
mở bán kính — ta có thể tìm đuợc cái mịn ơ — rời rạc mở Bn, hợp các họ
n
B chính là cơ sở ơ — rời rạc mở.
61
KÉT LUẬN
Trong phạm vi quyển luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số khái niệm về phân hoạch đơn vị và áp dụng các tính chất của chúng khi nghiên cứu tôpô, hình học. Cụ thể như sau:
Trong chương hai, luận văn dành cho việc nghiên cứu các khái niệm về phân hoạch đơn vị. Đó là:
Tìm hiểu phân hoạch của một hàm số bất kì, phân hoạch của một hàm
số liên tục, phân hoạch phụ thuộc vào phủ,... Trên cơ sở đó chứng minh sự
tồn tại phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ “C/ỉơ u = {u } n> là một phủ mở đếm được của không gian X. Một U - smalỉ phân hoạch đon vị trên X tồn tại nếu và chỉ nếu có một hàm xác định dưong f: X —> (0,00] mà có một u -
small phân hoạch
Tìm hiểu tích phân và đạo hàm của phân hoạch đon vị cùng với các
tính chất. Từ đó áp dụng chúng trong việc tìm cái mịn sao của các phủ mở
“C/ỉớ {/ } s là một phân hoạch đon vị trên X và Ị/^Ị là đạo hàm của nó. Neu hai phủ mở U = {ƯT} vàv = {ỵs} của X được định nghĩa hỏi
ƯT =ỰTY (0,1] và V = f ~' (0,1] thì hình sao của Utạỉ các điểm của X làm
mịn V ” cũng như việc tính toán bậc của phân hoạch đơn vị “Cho {/,}ÍSĨ
là một phần hoạch đon vị trên không gian X và Ị /rỊ Ắ là đạo hàm của nó. Bậc của {/VỊ tối đa n nếu và chỉ nếu fT = 0,\/T ^ s, Tchứa tối thiểu n+2 phần tử”.
Ở chương ba, dựa trên cơ sở các định nghĩa, định lý được trình bày trong chương hai, chúng tôi tìm hiểu một số áp dụng của phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc. Cụ thể như sau:
Định nghĩa không gian chuẩn tắc “Một không gian Haussdorff X là chuẩn tắc nếu bất kì phủ mở hữu hạn {us }s s có một u- small phân hoạch đon vị trên X”,chứng minh định lý thác triển Tietze “Nếu X là không gian chuẩn tắc và Ả là tập con đóng trong X, thì bất kì hàm liên tục f ịo, 7]
có thác triển trên X” bằng Z7-smallphân hoạch đơn vị (phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ)
Tìm hiểu sự thác triển 77-small phân hoạch đon vị trên không gian
chuẩn tắc “Cho X là không gian chuẩn tắc, Ả là tập con đóng của X và ị ư s s là phủ mở hữu hạn trên X. Bất kì U-small phân hoạch đon vị hữu
hạn ịfs s trên Ả có một thác triển u- small phân hoạch đon vị hữu hạn
fe}.s 5 c^a {/y}, 5 trẻn X”. Tổng quát hơn, chúng tôi nghiên cứu về sự thác
triển 77-small phân hoạch của một hàm số liên tục trên không gian chuẩn tắc “Cho X là không gian chuẩn tắc, f: X —*■ Ịớ,oo) là hàm sổ liên tục, A là tập con đỏng của X và u = {ơ.} 5 là một phủ mở hữu hạn của X. Bất kì U\A-small phân hoạch {/v}s s của f\A đều có thác triển một U-small
phân hoạch {gv }s s củaf”.
Cũng trong chuơng này, khi nghiên cứu các vấn đề về mêtric hóa, sử dụng phân hoạch đơn vị, 77-small phân hoạch đơn vị và áp dụng tính liên tục đồng bậc cho ta những tiêu chuẩn đơn giản hơn cho sự mêtric hóa một không
gian, chẳng hạn nhu khi đua ra tiêu chuẩn đễ một không gian Hausdorff
mêtric hóa “Một không gian Hausdorff X là mêtric hoá nếu và chỉ nếu có một phân hoạch đon vị {/?}? s trên Xsao cho |/?_1 (ớ,7]|^ là một cơ sở lần cận mở của X”. Từ đó, cùng với việc vận dụng tích phân và đạo hàm của phân
63
tôpô 3 điều kiện sau tương đưong: Không gian mêtrỉc hóa được, không gian chính quỉ có một cơ sở ơ - hữu hạn địa phương mở, không gian chính qui có một cơ sở ơ - rời rạc mở” theo một hướng mới.
Vai trò của phân hoạch đơn vị không chỉ dừng lại ở những điều mà trong luận văn chúng tôi đã trình bày, các nhà toán học đã sử dụng phân hoạch đơn vị khi xây dựng số chiều phủ của một không gian, cụ thể là dùng phân hoạch đơn vị hữu hạn đối với không gian chuẩn tắc và phân hoạch đơn vị tùy ý đối với không gian paracompact.
Vì những lí do đó, tác giả tha thiết đề nghị các đọc giả (nếu có quan tâm) tiếp tục nghiên cún về phân hoạch đon vị.
Sau cùng, mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do những hạn chế về thời gian và khả năng nên luận văn không thể tránh khỏi những sai sót nhất định. Chúng tôi tha thiết mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và các bạn đối với luận văn.
Tp. Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008 Tác giả
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cưoĩig, Nhà xuất bản Giáo dục.
2. Đậu Thế Cấp (2003), Giải Tích Hàm, Nhà xuất bản Giáo dục.
3. Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tôpô đại cưoĩĩg - Độ đo và Tích phân,
Nhà xuất bản Giáo dục.
4. Hoàng Xuân Sính - Đoàn Quỳnh, Tôpô là gì?, Nhà xuất bản Khoa học
và Kỹ thuật.
5. Đỗ Đức Thái (2002), Bài tập Tôpô đại cưong - Độ đo và Tích phân,
Nhà xuất bản Đại học Sư Phạm.
6. J.L. Keli (1973), Tôpô đại cưong, Nhà xuất bản Đại học và Trung học
chuyên nghiệp.
Tiếng Anh
1. J. Dydak, Extension theory: The ỉnterface behveen set - theoretic and algebraic topology, Topology Appl. 74 (1996), 225 - 258.
2. J. Dydak, Cohomological dimension and metrỉzable space II, Trans.
Amer.Math. Soc. 348 (1996), 1674- 1661.
3. J. Dydak and N.Feldman, Major theorems on compactness: A uniíìed approach, American Mathematical Monthly 99 (1992),220-227 4. J. Dydak and J. Segal, Shape theory: An introduction, springer Verlag
(1978). 5. Http: //en.wikipedia.org/wiki/Equicontinuity. 6. Http: //en.wikipedia.org/wiki/Normal_space. 7. Http: //en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function.