2. Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đon vị
1.2.Định lý thác triển Tietze đối với không gian chuẩn tắc
cung cấp nhiều tiêu chuẩn cho sự mêtric hóa một không gian, chúng tôi trình bày áp dụng của phân hoạch đon vị chứng minh định lý mêtric hóa.
1. Phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc 1.1. Định nghĩa không gian chuẩn tắc
Một không gian Haussdorff X là chuẩn tắc nếu bất kì phủ mở hữu hạn
ị ư s s có một phân hoạch đơn vị {/?}? s trên X sao cho fs (x — Us) c {0}
s £ s.
Nói cách khác, một không gian Haussdorff X là chuẩn tắc nếu bất kì
phủ mở hữu hạn ịưss có một u - small phân hoạch đon vị trên X.
1.2. Định lý thác triển Tietze đối với không gian chuẩntắc tắc
Định lý 3.1.
Neu X là không gian chuẩn tắc và A là tập con đóng trong X, thì bất kì hàm liên tục f có thác triển trên X.
Chứng minh Bước 1:
46
Ta chứng minh với bất kì hàm liên tục f : Ả—► [—M,Af] (T là tập con
đóng của không gian chuẩn tắc X) có thác triển xấp xỉ trên X. Có nghĩa là với
bất kì n> 0 tồn tại một hàm liên tục / :X—►[—M,M] sao cho
n
Với mỗi s eS lấy Is là khoảng mở chứa trong [—Af, Af ] và có độ dài nhỏ hơn —. Khi đó {/s }s s là phủ mở hữu hạn của [—M,M\
Đặt ưs = f ~x [ ls) u ( X \ A ) , S e S . Khi đó {ơ?}? s là phủ mở hữu hạn
của X. Vì X là không gian chuẩn tắc nên ta chọn đuợc một phân hoạch đơn vị
{/>Ls trênXsaocho f,(X-Us) c{oỊ,Vi eS.
Với mỗi sES chọn phần tử Vv G/vvà định nghĩa fn theo các vs.nhu
sau: fn{ x ) = Y , fs{ x ) . vs , x e X .
ses
Khi đó: \ fn{ x ) \ < ^ 2 fs( x ) . \ va\ < ^ 2 fs( x ) . M =M vì vậy ảnh của fn
seS seS thuộc đoạn . Ngoài ra, n ế u x e Ả thì fn ( x )- f ( x ) = (x).(v, - /(*)) ses f , ( x ) > 0 suy ra f ( x ) € I, và |v, - f ( x ) \ < - n Vỉ vậy I/„( x ) - f ( x )I< ^ 2 ft( x ) . - = - lĩẩ n n
Vậy: fn là thác triển gần đúng của/
Với bất ki hàm /: Ả —> [0,1], bằng phương pháp qui nạp theo n ta xây
dựng một dãy các hàm liên tục fn: X _Ị_
2” ’ 2”
,«>0 sao cho /0=0, /„+1
xấp xỉ / — và không lớn hơn —L—. Khi tiến dần đến 00 thì/-E7 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
i=0 2 1=0
00
00
tiến dần về 0, khi đó là thác triển của/ và hiển nhiên liên tục.
1—0 i=0
Vậy/có thác triển trên X.