2. Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đon vị
1.3. Thác triển của phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc
1.3.1. Định lý 3.2.
Cho X là không gian chuẩn tắc, Ả là tập con đóng của X, và {us}? s là
phủ mở hữu hạn trên X. Bất kì u-small phân hoạch đon vị hữu hạn {/ }s s
trên Ả có một thác triển U- small phân hoạch đon vị hữu hạn {gs.s của
{/ }s s trên X. Nói cách khác, vói bất kì phân hoạch đon vị hữu hạn {/ s
trên Ả sao cho fs (Ẩ — Us) c Ịo} với moi s G s đều cỏ thác triển phân hoạch
đon vị hữu hạn {g?}v s của {x}? s trên Xsao cho gv (v — ơv) c |oỊ với mỗi Chứng minh
Theo định lý thác triển Tietze trên không gian chuẩn tắc, ta thác triển mỗi hàm fs thành hs: X —> [0,1] sao cho hs [x — ưs)c |0} ,seS.
Đặt h = K 9lấy một lân cận u của Ả trong X sao cho
ses
48
Khi đó A và xxu là hai tập con đóng trong không gian chuẩn tắc X, áp
dụng bổ đề ưrysohn : tồn tại một hàm liên tục u: X —»• [0,1] thỏa u[À) c {1} và w(x\ơ)c{0}.
Vì X là không gian chuẩn tắc nên ta tìm đuợc một phân hoạch đon vị
{Ps }ías trên X sao cho p, (X - Us) c {0}, 5 € s.
Bây giờ ta đặt q!=u.ht+ịl — ù j . pl. Khi đó q = xác định
se s
Cuối cùng ta đặt gs := qs / q thì họ {gs. s là u - small phân hoạch đơn vị cần tìm.
Xa hơn nữa, chúng tôi muốn tìm hiểu sự thác triển phân hoạch của một hàm số liên tục. Nội dung định lý sau đây là sự tổng quát định lý 3.2
1.3.2. Định lý 3.3.
Cho X là không gian chuẩn tắc, f: X —> Ịớ,oo) là hàm sổ liên tục, A là tập con đóng của X và u = {ơ.} 5 là một phủ mở hữu hạn của X. Bất kì U\A-small phân hoạch {/v}s s của f\A đều có thác triển một U-small
phân hoạch {g,}s s của f.
Hai mệnh đề sau đây là công cụ để chứng minh định lý 3.3
1.3.3. Mệnh đề 3.4.
Cho ỈẨ = {ơ 5 là một phủ mở của không gian X, f:X —»[0,00) là hàm số liên tục, V là một lân cận của 00) trong X và ị fs} vlà
u\v -smaỉl phân hoạch của f\v. Sự thác triển mỗi gs của / sao cho gs (x — f~‘(0, oo)) c {0}, Vs eS tạo thành một u - smallphân hoạch của f.
Chứng minh
Ta chứng minh với mỗi s eS, gs liên tục.
Lấy a là một phần tử của X sao cho a G /-í (0) thì aex\f-'(o, 00) nên gs(a) = 0. Ta lấy \0,M) là một lân cận của gs(a), để chúng minh gs
liên tục ta chứng minh g~' [ớ,M) là lân cận của a.
Thật vậy,
Vì a e /_1 (0) nên f(a) = 0 => [0,M) là lân cận của f(a)
Mặt k4iác, /là hàm số liên tục nên có một lân cận ư của a trong X sao cho f(ư)cịO,M). Vì gs<f nên gs(ư)cịO,M) có nghĩa là ơ/Ịớ,M) là lân cận của a.
1.3.4. Mệnh đề 3.5.
Cho u = ịưs} s là một phủ mở hữu hạn của không gian chuẩn tắc X, Ả là tập con đóng của X, f:X —>[ớ,oo) là hàm so liên tục và {/}s s là IẢ\A- small phân hoạch của f\A. Nếu trong X có một lân cận V của Ả mà
{/ y s có thác triển u\v - small phân hoạch|/zvỊ vcủa f\v thì{/,} có thác triển u - small phân hoạch {ơ } vcủa f trên X.
Ngoài ra, nếu {hs} hữu hạn địaphưong (hoặc Ih^v — A.y ^ hữu hạn
địa phưong) thì ịg } . hữu hạn địa phưong (hoặc ịg \X — A\ hữu hạn
L * J seS L ‘ J seS
50
Chứng minh
Theo hệ quả 2.7 ta tìm được một U-small phân hoạch đon vị hữu hạn
địa phưong {r } s. trên X. Ta tìm một lân cận w của Ả sao cho bao đóng của
w được chứa trong V. Chọn một hàm liên tục u:X ^[0,1] sao cho
uự)c{0) và uự-W)c{l).
Với mỗi 5 e s, đặt gs := (7 — u)hs + f.u.rs
Khi đó : g' (X - ut)c {0}, V.S G và / = 'Ẹg'
ses
Chứng minh định lý 3.3
Bước 1
Ta coi hàm f nhận giá trị dưong. Vì Xỉầ không gian chuẩn tắc nên với mỗi seS ta tìm được hs:X—>\p,00) là thác triển của fs và hs thỏa
(X — Ưs) c {ớ}. Khi đó h := 'Yhhs.: X —> M xác định dưong trên lân cận w
nào đó của A. Trên wđặt p fA s eS thì {ps} s. là
u\w — small phân hoạch của f\w. Áp dụng mệnh đề 3.5 ta xây dựng được một u - small phân hoạch {gv Ị v của/ trên X.
Bước 2
Đặt V = (0,00) thì V chuẩn tắc. Khi đó j/jcn Àị'Ẵ có một thác
triển u\v -smallphân hoạch {pscủa f\v. Áp dụng mệnh đề 3.4 ựs