Mệnh đề 2.10 (tính toán bậc của phân hoạch đơn vị)

2. Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đon vị

2.5. Mệnh đề 2.10 (tính toán bậc của phân hoạch đơn vị)

Cho {/v} s là một phân hoạch đon vị trên không gian X vàỊ/rỊ Ẫlà đạo hàm của nó. Bậc của {fs} s tối đa n nếu và chỉ nếu fT =0,\/T d s, T chứa toi thiểu n+2phần tử.

Chứng minh Chiều thuận

{fs}s s, là một phân hoạch đơn vị trên không gian X có bậc tối đa là n,

44

Vì /;=|r|max(0,ơr)

Với gr(x) = minỊyj(jc) 11 erỊ - supỊ/(jc) 11 eS \rỊ

{/J là phân hoạch đơn vị có bậc tối đa n nên lực lượng của tập

ịs eS I /?(x) > oỊ tối đa là n+ỉ.

Suy ra s chứa ít nhất một phần tử s sao cho fs(v) = 0 (x) Mà fs (v) là tông của tất cả các Ị J - , T chứa s

Nên /;(x) = 0, VXEI Do đó /; =0

Chiều nghịch

fT = 0, vr c= s, T chứa ít nhất n+2 phần tử. Ta sẽ chúng minh bậc của

{fs}s s tối đa là n có nghĩa là với mỗi xe X lực lượng của tập

ịs e s I fs (JC) > oỊ tối đa 1 à 72+7.

Bằng phản chứng ta giả sử có V nào đó, xeX tập

F = {seS|/,(x) > 0} chứa ít nhất n+2 phần tử.

Đặt ữ = min{./;(x)|.seF}. Ta mở rộng F thành tập

F = ụ eS|/,(x)>a)

Khi đó /F(x) = I^1 (min I J.(x) IS eFỊ -supỊ/ (X) |Í GS\FỊỊ > 0 (mâu thuẫn). Do đó không tồn tại tập F như trên hay lực lượng của tập

ịs e s I fs (JC) > oỊ tối đa Ìần+L

Chương 3. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA PHÂN HOẠCH ĐON VỊ CHO TÔPÔ HÌNH HỌC

Phân hoạch đơn vị có vai trò to lớn khi áp dụng cho tôpô, hình học. Trong phạm vi chương này chúng tôi xin trình bày ba vấn đề. Thứ nhất, sử dụng phân hoạch đon vị phụ thuộc vào phủ để chứng minh định lỷ thác triển Tietze. Thứ hai, trình bày một số áp dụng của phân hoạch đon vị trên không gian chuẩn tắc. Thứ ba là sự mêtric hóa một không gian, phân hoạch đon vị cung cấp nhiều tiêu chuẩn cho sự mêtric hóa một không gian, chúng tôi trình bày áp dụng của phân hoạch đon vị chứng minh định lý mêtric hóa.

1. Phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc 1.1. Định nghĩa không gian chuẩn tắc

Một không gian Haussdorff X là chuẩn tắc nếu bất kì phủ mở hữu hạn

ị ư s s có một phân hoạch đơn vị {/?}? s trên X sao cho fs (x — Us) c {0}

s £ s.

Nói cách khác, một không gian Haussdorff X là chuẩn tắc nếu bất kì

phủ mở hữu hạn ịưss có một u - small phân hoạch đon vị trên X.

1.2. Định lý thác triển Tietze đối với không gian chuẩntắc tắc

Định lý 3.1.

Neu X là không gian chuẩn tắc và A là tập con đóng trong X, thì bất kì hàm liên tục f có thác triển trên X.

Chứng minh Bước 1:

46

Ta chứng minh với bất kì hàm liên tục f : Ả—► [—M,Af] (T là tập con

đóng của không gian chuẩn tắc X) có thác triển xấp xỉ trên X. Có nghĩa là với

bất kì n> 0 tồn tại một hàm liên tục / :X—►[—M,M] sao cho

n

Với mỗi s eS lấy Is là khoảng mở chứa trong [—Af, Af ] và có độ dài nhỏ hơn —. Khi đó {/s }s s là phủ mở hữu hạn của [—M,M\

Đặt ưs = f ~x [ ls) u ( X \ A ) , S e S . Khi đó {ơ?}? s là phủ mở hữu hạn

của X. Vì X là không gian chuẩn tắc nên ta chọn đuợc một phân hoạch đơn vị

{/>Ls trênXsaocho f,(X-Us) c{oỊ,Vi eS.

Với mỗi sES chọn phần tử Vv G/vvà định nghĩa fn theo các vs.nhu

sau: fn{ x ) = Y , fs{ x ) . vs , x e X .

ses

Khi đó: \ fn{ x ) \ < ^ 2 fs( x ) . \ va\ < ^ 2 fs( x ) . M =M vì vậy ảnh của fn

seS seS thuộc đoạn . Ngoài ra, n ế u x e Ả thì fn ( x )- f ( x ) = (x).(v, - /(*)) ses f , ( x ) > 0 suy ra f ( x ) € I, và |v, - f ( x ) \ < - n Vỉ vậy I/„( x ) - f ( x )I< ^ 2 ft( x ) . - = - lĩẩ n n

Vậy: fn là thác triển gần đúng của/

Với bất ki hàm /: Ả —> [0,1], bằng phương pháp qui nạp theo n ta xây

dựng một dãy các hàm liên tục fn: X _Ị_

2” ’ 2”

,«>0 sao cho /0=0, /„+1

xấp xỉ / — và không lớn hơn —L—. Khi tiến dần đến 00 thì/-E7

i=0 2 1=0

00

00

tiến dần về 0, khi đó là thác triển của/ và hiển nhiên liên tục.

1—0 i=0

Vậy/có thác triển trên X.

1.3. Thác triển của phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc1.3.1. Định lý 3.2. 1.3.1. Định lý 3.2.

Cho X là không gian chuẩn tắc, Ả là tập con đóng của X, và {us}? s là

phủ mở hữu hạn trên X. Bất kì u-small phân hoạch đon vị hữu hạn {/ }s s

trên Ả có một thác triển U- small phân hoạch đon vị hữu hạn {gs.s của

{/ }s s trên X. Nói cách khác, vói bất kì phân hoạch đon vị hữu hạn {/ s

trên Ả sao cho fs (Ẩ — Us) c Ịo} với moi s G s đều cỏ thác triển phân hoạch

đon vị hữu hạn {g?}v s của {x}? s trên Xsao cho gv (v — ơv) c |oỊ với mỗi Chứng minh

Theo định lý thác triển Tietze trên không gian chuẩn tắc, ta thác triển mỗi hàm fs thành hs: X —> [0,1] sao cho hs [x — ưs)c |0} ,seS.

Đặt h = K 9lấy một lân cận u của Ả trong X sao cho

ses

48

Khi đó A và xxu là hai tập con đóng trong không gian chuẩn tắc X, áp

dụng bổ đề ưrysohn : tồn tại một hàm liên tục u: X —»• [0,1] thỏa u[À) c {1} và w(x\ơ)c{0}.

Vì X là không gian chuẩn tắc nên ta tìm đuợc một phân hoạch đon vị

{Ps }ías trên X sao cho p, (X - Us) c {0}, 5 € s.

Bây giờ ta đặt q!=u.ht+ịl — ù j . pl. Khi đó q = xác định

se s

Cuối cùng ta đặt gs := qs / q thì họ {gs. s là u - small phân hoạch đơn vị cần tìm.

Xa hơn nữa, chúng tôi muốn tìm hiểu sự thác triển phân hoạch của một hàm số liên tục. Nội dung định lý sau đây là sự tổng quát định lý 3.2

1.3.2. Định lý 3.3.

Cho X là không gian chuẩn tắc, f: X —> Ịớ,oo) là hàm sổ liên tục, A là tập con đóng của X và u = {ơ.} 5 là một phủ mở hữu hạn của X. Bất kì U\A-small phân hoạch {/v}s s của f\A đều có thác triển một U-small

phân hoạch {g,}s s của f.

Hai mệnh đề sau đây là công cụ để chứng minh định lý 3.3

1.3.3. Mệnh đề 3.4.

Cho ỈẨ = {ơ 5 là một phủ mở của không gian X, f:X —»[0,00) là hàm số liên tục, V là một lân cận của 00) trong X và ị fs} vlà

u\v -smaỉl phân hoạch của f\v. Sự thác triển mỗi gs của / sao cho gs (x — f~‘(0, oo)) c {0}, Vs eS tạo thành một u - smallphân hoạch của f.

Chứng minh

Ta chứng minh với mỗi s eS, gs liên tục.

Lấy a là một phần tử của X sao cho a G /-í (0) thì aex\f-'(o, 00) nên gs(a) = 0. Ta lấy \0,M) là một lân cận của gs(a), để chúng minh gs

liên tục ta chứng minh g~' [ớ,M) là lân cận của a.

Thật vậy,

Vì a e /_1 (0) nên f(a) = 0 => [0,M) là lân cận của f(a)

Mặt k4iác, /là hàm số liên tục nên có một lân cận ư của a trong X sao cho f(ư)cịO,M). Vì gs<f nên gs(ư)cịO,M) có nghĩa là ơ/Ịớ,M) là lân cận của a.

1.3.4. Mệnh đề 3.5.

Cho u = ịưs} s là một phủ mở hữu hạn của không gian chuẩn tắc X, Ả là tập con đóng của X, f:X —>[ớ,oo) là hàm so liên tục và {/}s s là IẢ\A- small phân hoạch của f\A. Nếu trong X có một lân cận V của Ả mà

{/ y s có thác triển u\v - small phân hoạch|/zvỊ vcủa f\v thì{/,} có thác triển u - small phân hoạch {ơ } vcủa f trên X.

Ngoài ra, nếu {hs} hữu hạn địaphưong (hoặc Ih^v — A.y ^ hữu hạn

địa phưong) thì ịg } . hữu hạn địa phưong (hoặc ịg \X — A\ hữu hạn

L * J seS L ‘ J seS

50

Chứng minh

Theo hệ quả 2.7 ta tìm được một U-small phân hoạch đon vị hữu hạn

địa phưong {r } s. trên X. Ta tìm một lân cận w của Ả sao cho bao đóng của

w được chứa trong V. Chọn một hàm liên tục u:X ^[0,1] sao cho

uự)c{0) và uự-W)c{l).

Với mỗi 5 e s, đặt gs := (7 — u)hs + f.u.rs

Khi đó : g' (X - ut)c {0}, V.S G và / = 'Ẹg'

ses

Chứng minh định lý 3.3

Bước 1

Ta coi hàm f nhận giá trị dưong. Vì Xỉầ không gian chuẩn tắc nên với mỗi seS ta tìm được hs:X—>\p,00) là thác triển của fs và hs thỏa

(X — Ưs) c {ớ}. Khi đó h := 'Yhhs.: X —> M xác định dưong trên lân cận w

nào đó của A. Trên wđặt p fA s eS thì {ps} s. là

u\w — small phân hoạch của f\w. Áp dụng mệnh đề 3.5 ta xây dựng được một u - small phân hoạch {gv Ị v của/ trên X.

Bước 2

Đặt V = (0,00) thì V chuẩn tắc. Khi đó j/jcn Àị'Ẵ có một thác

triển u\v -smallphân hoạch {pscủa f\v. Áp dụng mệnh đề 3.4 ựs

1.4. Định lý về sự tồn tại phân hoạch đơn vị trên không gian

chuẩn tắc

Định lý 3.6.

Cho u = Ị Us Ị , là phủ mở của không gian chuẩn tắc X. Một u- smalỉ phân hoạch đơn vị trên X tồn tại nếu và chỉ nếu có một họ liên tục đồng bậc

{/Lthỏa:

1. Với mỗi Xe x,3t e T sao cho ft (x) > 0

2. Vói mỗi t <ET có một tập con hữu hạn F của s vói tính chất f,(x) = Oyx<EX\ỵU,.

Đe chứng minh định lý 3.6 ta xét bổ đề 3.7. Mục đích của chúng ta là

tạo ra một u - small phân hoạch liên tục đồng bậc của một hàm bị chặn.

Bổ đề 3.7

Cho U = ịưs'ịs là một phủ mở của một không gian X,

I fs :X —? Vlà một U- small phân hoạch liên tục đồng bậc của một

hàm xác định dương f: X (0,co]. Neu s được sắp tốt thì các hàm

gs :=max(0,fs -supựt ịt <s}) cảm sinh U- small phân hoạch liên tục đồng

bậc {gvỊx vcủa hàm xác định dưong g: X —> (0,1]

Chứng minh

Vì sXa)=fXa)nên Ẹ& > 0

52

seS

Giả sử Tlà tập con hữu hạn của s sao cho g.. (ứ) > 0, se T

Đem được tất cả các phần tử của T theo thứ tự tăng dần s(l) <s(2) <...<£(&) Khiđóg , ọ ) (a) = /,w(a)-sup{/ <í(/)} => £,(,')(<*) - /.(0 («) - (")('■ = => 2>, (ữ)ắ /,„) M + (/,<2) («) - /,(1) («)) + ••• + (/,w («) - /,(*-,) (a)) SGT ssT Đặt g=Ẹg,thì g(«)=Ẹ&(«)- ■?sS .ÍSS Ta có: 0< o-(ứ) < 1

Vậy: gs cảm sinh U - small phân hoạch liên tục đồng bậc {ơ } của

hàm xác định dương g: X —» (o, 1]

Chứng minh định lý 3.6

Giả sử u = Ịt/Ị là phủ mở của không gian chuẩn tắc X. {/} . là

phân hoạch liên tục đồng bậc của hàm / (xác định dương) sao cho với bất kì

t eT, tồn tại một tập hữu hạn F(t), F(t)czS có tính chất /l(x) = 0ỉV x e X \ ụ u

Bằng cách thay / bằng min(l,/) và áp dụng 3.6 ta xem hàm/bị chặn trên bởi 1. Theo 2.6 ta có thể giả sử {/} . là phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương.

Với mỗi tập hữu hạn F czS, đặt UF = uơ , fT = ỴJfí thì {/j} T là

ssF teT

phân hoạch liên tục đồng bậc của hàm fT và giá của ft (|x £ x \ ft (x) o|)

là ỊJp. Theo hệ quả 2.7 có một phân hoạch đon vị hữu hạn địa phuong

Sma kao đónể AF của giá của gf đuợc chứa trong ƯF với mỗi F.

Bây giờ ta xét phủ mở Ị ẢF n Ơ?Ị của ẢF và chọn một phân hoạch đon vị Ị hỊ trên Ap sao cho ^(^F\^)cỊoỊ,5 GT.

Theo định lý 3.1 ta có thể mở rộng mỗi hàm hF trên X sao cho /ỉFs.(X\ơí)c{0},seF. Khi đó, hF fi.gF9 seF, F hữu hạn, F czS tạo

thành một phân hoạch đon vị trên X.

:= ^ hp .gp thì ps cảm sinh một phân hoạch đơn vị trênX Đó là U-

FcS

small phân hoạch đơn vị.

2. Phân hoạch đơn vị và sự mêtric hóa

Phân hoạch đơn vị cung cấp những tiêu chuẩn đơn giản cho sự mêtric hóa một không gianX

2.1. Định lý 3.8

Một không gian Hausdorff X là mêtrỉc hoả nếu và chỉ nếu có một phân hoạch đon vị {/?}v s trên X sao cho Ị/'1 là một cơ sở lần cận mở của X.

Đe chúng minh định lý này ta xét bố đề sau đây:

2.1.2. Bổ đề 3.9

í nì X, - )\ í IV x>n J x e x J x’n í nì X, — X\B n)) 54

Cho X là không gian mêtrỉc, u = {Us}x là một họ các tập con mở trên X. Vói mỗi s eS, đặt fs (x) := dist(x,X - ưs), MxeX thì họ T = {/s}?liên tục đồng bậc.

Chứng minh

Với mỗi z eX ta xét g z: X R với gz (x) = d

Khi đó Igz (x) - gz (^)l = Id (x,z) - d(y,z)I < d (x,y)\/x,y,z e X

Như vậy với \/s >0,a eX ta chọn một lân cận u chứa a sao cho

d ( g , (JC) - g , (^)) < s , VJC, y G u

Do đó {gz} liên tục đồng bậc.

Theo mệnh đề 2.6, họ {gr}r s liên tục đồng bậc (với

gr:=infịgz\zeT}). Đặt T:=X-U!.Khi đó ST (x) ='«/ {ểz (*)lz e x - us) = infịd(x,z)\zeX-UsI = dist(x,X -Us) =>8T-/S Vậy: họ T = {/s} liên tục đồng bậc. 2.1.2. Hệ quả 3.10.

Mỗi không gian mêtrỉc X là paracompact.

Chứng minh

55

Giả sử {ơ?} là phủ mở của không gian mêtric X. Ta chứng minh trên

X có một phân hoạch đon vị sao cho gs (x — u ) = 0, \/s G s. Thật

vậy,

Với mỗi sES, xét fs:X^R với / (%) = dist[x,X — u ) thì

fs(x) = oyxeX-ưs

Bây giờ ta đặt / = X/ và

J

Thì họ {gs }s là phân hoạch đơn vị trên X sao cho gs (v — Us) = 0 hay

x\ầ không gian paracompact.

Chứng minh định lý 3.8

Chiều thuận

Cho X là không gian mêtric hóa được và d là một mêtric trên X. Ta chứng minh tồn tại một phân hoạch đơn vị {gs}s s trên X sao cho

(o,l]Ị là một cơ sở lân cận mở của X.

Thật vậy,

x\ầ không gian mêtric hóa được nên X là không gian paracompact. Với

1 (cho trước), B kính —, họ \B n ' lx X — n

x| d(jc,y) < —I là quả cầu mở tâm Xbán

là phủ mở của X. Khi đó ta tìm được một phân hoạch

n> 1

c{o}(X là không gian paracompact)

Đăt gr„ :=di2!L với (x,n)c XxN thì {g Ị, , là môt phân hoach

• ỡ x’n 9 « V ’ / lỡj:>n J (jc,n)eXxN r •

đơn vị trên X.

Khi đó với mỗi (r,/ỉ)eIxN, 0, llị là cơ sở lân cận mở của X.

§x,n(0,1]CS (_X - lì { n)

Chiều nghịch

Cho X là không gian Hausdorff và {fs}s s là một phân hoạch đơn vị

trên X sao cho j/s_1 (0,l]Ị^ là một cơ sở lân cận mở của X. Ta chứng minh

không gian X mêtric hóa được.

Đặt d (*,y) := y\L (v) — fs (y)|, \/x,ỵ G X thì d là mêtric trên X. Ta cần

S&S

chứng minh tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô trên X. Thật vậy,

Cho u là một tập mở, u cX và xeư. Ta tìm được teS sao cho X G //_1 (0,1] c u. Đặt V:={ye x \ d [ x , y ) < ft (x)| thì v \ ầ tập mở chứax. Ta

sẽ chứng minh V cư.

Bằng phương pháp phản chứng ta giả sử V ỰLU . Khi đó tồn tại

Vì yịư nên ft( y ) =0 suy ra d(x,y)>\ft(x)~ft(y)\ = ft(x)

(d(x,y) = y\fs{x)~fs(T)|) (mâu thuẫn). Do đó V cư

seS

Suy ra tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô trên X.

Áp dụng tính chất của phân hoạch đơn vị để chứng minh định lỷ mêtric

2.2. Định lý 3.11. (Định lýmêtric hóa) mêtric hóa)

57

Đổi với không gian tôpô 3 điều kiện sau là tưoĩig đưoĩig : a. Không gian mêtric hóa được.

b. Không gian chính qui cỏ một cơ sở ơ - hừu hạn địa phưoĩig mở. c. Không gian chính qui có một cơ sở ơ - rời rạc mở.

Chứng minh

(c => b) hiển nhiên vì một họ rời rạc là hữu hạn địa phưong. Ta cần

chứng minh (b =>■ aj và (ữ =>■ c)

Chứng minh (b =>■ a) Bước 1:

Ta xét trường hợp Xlà không gian chuẩn tắc.

X có một cơ sở ơ- hữu hạn địa phương mở. Ta chứng minh X mêtric

hóa được.

Giả sử Íí/ Ị , là một cơ sở mở trong Xsao cho \u Ị là hữu

l x’n i (s,n)eSxN • b l J s€S

hạn địa phương với mỗi n.

Ta giả sử ịu Ị là một phủ mở của X với mỗi n G N. Khi đó mỗi tập là hợp đếm được của các tập con của Fn. Ở đây Fn là hợp các bao đóng

usnsao cho cl(Us/t)cU

Vì vậy mỗi (j,w) G s X N, Us n = f~J (0,1] với fs n: X —> [0,1] là hàm số liên tục. Bây giờ ta đặt fn := n thì fn là hàm số liên tục từ không gian X

s€S

Bằng cách thay fsn bằng - ta có thể giả sử fn=ì. Đặt gsn = fsn2 n

J n

thì ơ cảm sinh môt phân hoach đơn vi íc V . trên X và V,„ = ^(04],V(Í,»)€S X N tạo thành một cơ sở lân cận mở.