2. Phân hoạch đơn vị và sự mêtric hóa
2.1.Định lý 3.8 (tiêu chuẩn mêtric hóa một không gian)
Một không gian Hausdorff X là mêtrỉc hoả nếu và chỉ nếu có một phân hoạch đon vị {/?}v s trên X sao cho Ị/'1 là một cơ sở lần cận mở của X.
Đe chúng minh định lý này ta xét bố đề sau đây:
2.1.2. Bổ đề 3.9
í nì X, - )\ í IV x>n J x e x J x’n í nì X, — X\B n)) 54
Cho X là không gian mêtrỉc, u = {Us}x là một họ các tập con mở trên X. Vói mỗi s eS, đặt fs (x) := dist(x,X - ưs), MxeX thì họ T = {/s}?liên tục đồng bậc.
Chứng minh
Với mỗi z eX ta xét g z: X R với gz (x) = d
Khi đó Igz (x) - gz (^)l = Id (x,z) - d(y,z)I < d (x,y)\/x,y,z e X
Như vậy với \/s >0,a eX ta chọn một lân cận u chứa a sao cho
d ( g , (JC) - g , (^)) < s , VJC, y G u
Do đó {gz} liên tục đồng bậc.
Theo mệnh đề 2.6, họ {gr}r s liên tục đồng bậc (với
gr:=infịgz\zeT}). Đặt T:=X-U!.Khi đó ST (x) ='«/ {ểz (*)lz e x - us) = infịd(x,z)\zeX-UsI = dist(x,X -Us) =>8T-/S Vậy: họ T = {/s} liên tục đồng bậc. 2.1.2. Hệ quả 3.10.
Mỗi không gian mêtrỉc X là paracompact.
Chứng minh
55
Giả sử {ơ?} là phủ mở của không gian mêtric X. Ta chứng minh trên
X có một phân hoạch đon vị sao cho gs (x — u ) = 0, \/s G s. Thật
vậy,
Với mỗi sES, xét fs:X^R với / (%) = dist[x,X — u ) thì
fs(x) = oyxeX-ưs
Bây giờ ta đặt / = X/ và
J
Thì họ {gs }s là phân hoạch đơn vị trên X sao cho gs (v — Us) = 0 hay
x\ầ không gian paracompact.
Chứng minh định lý 3.8
Chiều thuận
Cho X là không gian mêtric hóa được và d là một mêtric trên X. Ta chứng minh tồn tại một phân hoạch đơn vị {gs}s s trên X sao cho
(o,l]Ị là một cơ sở lân cận mở của X.
Thật vậy,
x\ầ không gian mêtric hóa được nên X là không gian paracompact. Với (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1 (cho trước), B kính —, họ \B n ' lx X — n
x| d(jc,y) < —I là quả cầu mở tâm Xbán
là phủ mở của X. Khi đó ta tìm được một phân hoạch
n> 1
c{o}(X là không gian paracompact)
Đăt gr„ :=di2!L với (x,n)c XxN thì {g Ị, , là môt phân hoach
• ỡ x’n 9 « V ’ / lỡj:>n J (jc,n)eXxN r •
đơn vị trên X.
Khi đó với mỗi (r,/ỉ)eIxN, 0, llị là cơ sở lân cận mở của X.
§x,n(0,1]CS (_X - lì { n)
Chiều nghịch
Cho X là không gian Hausdorff và {fs}s s là một phân hoạch đơn vị
trên X sao cho j/s_1 (0,l]Ị^ là một cơ sở lân cận mở của X. Ta chứng minh