7. Cấu trúc của luận văn
2.2.3. Xõy dựng và tổ chức cỏc hoạt động trong dạy học giải bài tập Toỏn
Theo Nguyễn Bỏ Kim: "Thụng qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương phỏp, những hoạt động Toỏn học phức hợp, những hoạt động trớ tuệ phổ biến trong Toỏn học, những hoạt động trớ tuệ chung và những hoạt động ngụn ngữ".
Mặt khỏc, ở trường phổ thụng "dạy Toỏn là dạy hoạt động toỏn học" (dẫn theo [25], tr. 12) và cú thể xem việc giải toỏn là hỡnh thức chủ yếu của hoạt động Toỏn học đối với học sinh. Cỏc bài tập toỏn ở trường phổ thụng là một phương tiện rất cú hiệu quả và khụng thể thay thế được trong việc giỳp học sinh nắm vững tri thức, phỏt triển năng lực tư duy, hỡnh thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toỏn học vào thực tiễn.
Hoạt động giải bài tập Toỏn là điều kiện để thực hiện tốt cỏc mục đớch dạy học Toỏn ở trường phổ thụng, được thể hiện thụng qua cỏc chức năng của bài tập Toỏn là: chức năng dạy học, chức năng giỏo dục, chức năng phỏt triển và chức năng kiểm tra. Chỳng tụi cho rằng khi dạy học sinh giải bài tập toỏn giỏo viờn cần khai thỏc và thực hiện một cỏch đầy đủ cỏc chức năng cú thể cú của mỗi bài tập.
Cú thể hiểu chức năng dạy học của bài tập Toỏn như sau: Bài tập toỏn nhằm củng cố ụn tập hệ thống kiến thức lý thuyết, hoàn thiện cỏc kiến thức cơ
bản, nõng cao lý thuyết trong chừng mực cú thể, giỳp cho học sinh nhớ và khắc sõu những lý thuyết đó học.
Bài tập Toỏn cũn cú chức năng phỏt triển vỡ thụng qua hoạt động giải bài tập toỏn học sinh được rốn luyện cỏc thao tỏc trớ tuệ, hỡnh thành những phẩm chất của tư duy, bồi dưỡng cho học sinh phương phỏp chứng minh Toỏn học. Quỏ trỡnh dạy giải bài tập Toỏn cho HS ở DBĐHDT cũng giống như dạy giải bài tập cho học sinh phổ thụng, bờn cạnh đú cũng đặc biệt phải chỳ trọng đến những hoạt động nhằm phỏt hiện và sữa chữa sai lầm cho học sinh DBĐHDT trong quỏ trỡnh giải bài tập. Do hệ DBĐHDT khụng cú giỏo trỡnh cụ thể mà chỉ cú khung chương trỡnh do bộ GD và ĐT ban hành nờn GV cần phải lựa chọn hệ thống bài tập một cỏch phự hợp, vừa đảm bảo HS được củng cố kiến thức phổ thụng cho HS vừa cú thể nõng cao để tạo tiền đề cho việc học ĐH sau này, đặc biệt chỳ trọng những bài tập cú tỏc dụng nõng cao tư duy cho HS.
Đối tượng HS DBĐHDT là những học sinh đó học xong chương trỡnh phổ thụng nờn trong quỏ trỡnh dạy giải bài tập, ngoài mục đớch củng cố kiến thức của bài học, GV cũng nờn khuyến khớch HS đưa ra nhiều cỏch giải khỏc nhau cú thể khụng liờn quan đến hệ thống kiến thức của bài học, qua đú GV giỳp học sinh tổng hợp lại được những kiến thức cần thiết trong chương trỡnh phổ thụng.
Khi dạy bài tập cho học sinh DBĐHDT, chỳng tụi cho rằng cần chỳ ý rốn luyện cho học sinh một số kỹ năng sau:
- Kỹ năng chuyển đổi ngụn ngữ Toỏn học
- Kỹ năng vận dụng cỏc định nghĩa, định lớ, cỏc tớnh chất, cỏc phương phỏp một cỏch linh hoạt, sỏng tạo…
- Rốn luyện cho học sinh kỹ năng phõn tớch, tổng hợp, khỏi quỏt hoỏ... cỏc bài Toỏn.
Vớ dụ 1: Luyện tập về phương trỡnh đường thẳng và phương trỡnh đường trũn. Sau khi HS học xong phương trỡnh đường thẳng và phương trỡnh đường trũn trong mặt phẳng, GV cú thể khai thỏc được nhiều dạng toỏn về tương giao của đường thẳng và đường trũn trong mặt phẳng.
Cú thể khai thỏc đưa ra những dạng toỏn như sau:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng cú phương trỡnh 3x - 4y + m = 0 (d) và đường trũn cú phương trỡnh x2 + y2 = 25 (C).
b, Tỡm m để (d) tiếp xỳc với (C).
c, Tỡm m để (d) cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho đoạn AB dài nhất. d, Tỡm m để (d) cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho đoạn AB = 6.
e, Viết phương trỡnh đường thẳng vuụng gúc với (d) và tiếp xỳc với (C). Đối với bài toỏn này HS cú thể rốn luyện cho mỡnh cỏc kĩ năng tư duy như: phõn tớch, tổng hợp, so sỏnh..., kĩ năng chuyển đổi ngụn ngữ từ hỡnh học thụng thường sang hỡnh tọa độ.... GV cú thể rốn luyện cho HS cỏc kĩ năng này thụng qua việc tổ chức cỏc hoạt động sau.
Hoạt động 1: (Giải cõu a).
- Hóy xỏc định tõm của đường trũn (C).
- Trong hỡnh học tọa độ, để biết một đường thẳng (d) cú đi qua điểm M(x0;y0) hay khụng, chỳng ta thường làm như thế nào? Hóy dựa theo yờu cầu của bài toỏn, tỡm giỏ trị của m.
Cõu trả lời mong đợi: - (C) cú tõm I (0;0)
- Đường thẳng (d) đi qua I nờn: 3.0 - 4.0 + m = 0. Vậy m = 0.
(Hoạt động này giỳp HS rốn luyện kĩ năng xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn, kĩ năng xỏc định một điểm thuộc đường thẳng).
Tuy nhiờn qua quỏ trỡnh giảng dạy ở hệ DBĐHDT chỳng tụi nhận thấy, HS khụng chỉ đưa ra cỏch xỏc định một đường thẳng đi qua một điểm như trờn mà cỏc em cũn đưa ra cỏch xỏc định như sau:
- Lấy một điểm M thuộc đường thẳng (d), tớnh MIuuur.
- Xỏc định vectơ phỏp tuyến nr của đường thẳng, tỡm điều kiện để MIuuur và nr
vuụng gúc, từ đú tỡm được giỏ trị m.
Nếu học sinh đưa ra phương phỏp này, GV cũng nờn khuyến khớch, vỡ thụng qua những hoạt động của phương phỏp này, HS được rốn luyện kĩ năng tỡm một điểm thuộc đường thẳng, kĩ năng xỏc định vectơ phỏp tuyến của đường thẳng, kĩ năng chứng minh hai vectơ vuụng gúc, đặc biệt là kĩ năng phõn tớch để đưa ra phương phỏp giải trờn.
Hoạt động 2: (Hoạt động giải cõu b).
Cõu trả lời mong đợi: Khi khoảng cỏch từ tõm đường trũn tới đường thẳng bằng bỏn kớnh của đường trũn.
- Hóy tỡm m dựa vào yờu cầu của bài toỏn. Cõu trả lời mong đợi:
- HS tỡm được tõm I và bỏn kớnh R của đường trũn.
- Tớnh được khoảng cỏch từ tõm I tới đường thẳng (d) dựa vào cụng thức. - Áp dụng điều kiện tiếp xỳc của đường thẳng với đường trũn tỡm được m.
(Hoạt động này giỳp học sinh rốn luyện kĩ năng xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn, kĩ năng vận dụng cụng thức tớnh khoảng cỏch, kĩ năng phõn tớch, tổng hợp)
Ngoài ra cũng cú thể đưa ra thờm hoạt động như sau:
- Ngoài điều kiện tiếp xỳc như trờn, chỳng ta cũn biết một đường thẳng tiếp xỳc với đường trũn khi và chỉ khi đường thẳng và đường trũn cú duy nhất một điểm chung. Hóy dựa vào điều kiện này để tỡm m.
Khi đú HS sẽ đưa ra phương phỏp giải như sau:
- Đường thẳng (d) tiếp xỳc với (C) khi và chỉ khi (d) và (C) cú duy nhất một điểm chung .
- Đường thẳng (d) tiếp xỳc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trỡnh
2 2 3 4 0 25 x y m x y − + = + = cú nghiệm duy nhất.
Vậy bài toỏn chuyển về tỡm m để hệ phương trỡnh 32 42 0 25 x y m x y − + = + = cú nghiệm duy nhất. - Áp dụng kiến thức đại số tỡm m.
Đối với hoạt động này, HS khụng chỉ được rốn luyện kĩ năng ỏp dụng cỏc kiến thức của hỡnh học tọa độ mà cũn rốn luyện cả kĩ năng ỏp dụng kiến thức của đại số. Bờn cạnh đú HS cũng thấy rừ được mối quan hệ giữa cỏc hỡnh hỡnh học, thấy được ưu điểm của phương phỏp tọa độ, từ đú cũng thấy được một phần lớ do của việc xuất hiện hỡnh học tọa độ.
Hoạt động 3: (Hoạt động giải cõu c).
- Cho hai điểm A, B di động trờn đường trũn (C), tỡm khoảng cỏch lớn nhất giữa A và B.
Cõu trả lời mong đợi : AB lớn nhất bằng đường kớnh của (C). - Khi nào thỡ độ dài đoạn AB bằng đường kớnh?
Cõu trả lời mong đợi: Khi đường thẳng AB đi qua tõm của đường trũn. - Hóy phỏt biểu một bài toỏn tương đương với bài toỏn trờn?
Cõu trả lời mong đợi: Bài toỏn trờn cú thể chuyển thành bài toỏn: tỡm m để đường thẳng (d) đi qua tõm của đường trũn (C) ( cõu a).
Hoạt động 4: (Giải cõu d).
- Em cú nhận xột gỡ về tập hợp những đường thẳng cho dưới dạng phương trỡnh của đường thẳng (d ).
Cõu trả lời mong đợi: Đú là những đường thẳng song song với nhau vỡ cú cựng vectơ phỏp tuyến nr.
- Hóy tớnh khoảng cỏch giữa đường thẳng cần lập với đường thẳng đi qua tõm mà ta đó tỡm được ở cõu a.
Cõu trả lời mong đợi: Khoảng cỏch đú bằng IH. Tớnh được IH dựa vào tam giỏc vuụng HAI, ta cú: IH = 4.
- GV kết luận: Khi đú ta cũng cú khoảng cỏch từ tõm I đến đường thẳng (d) bằng IH. Vậy hóy đưa ra một bài toỏn quen thuộc tương đương với bài toỏn ban đầu.
- Hóy giải bài toỏn trờn.
Cõu trả lời mong đợi: Bài toỏn chuyển về tỡm m để khoảng cỏch từ tõm của đường trũn tới đường thẳng (d) bằng 4.
Trong hoạt động này học sinh được rốn luyện kĩ năng phõn tớch, tổng hợp, kĩ năng chuyển đổi bài toỏn từ một bài toỏn hỡnh học thụng thường sang một bài toỏn hỡnh tọa độ quen thuộc. Đồng thời HS cũng thấy được mối liờn hệ giữa hỡnh học thụng thường với hỡnh học tọa độ.
Hoạt động 5: (Giải cõu e).
- Đường thẳng vuụng gúc với (d) sẽ cú dạng phương trỡnh như thế nào? Vỡ sao? Cõu trả lời mong đợi: Đường thẳng đú cú dạng: 4x + 3y + c = 0
- Tương tự cõu b, hóy viết phương trỡnh đường thẳng cần lập.
d
A B
5 I H
Hoạt động này giỳp HS củng cố kiến thức về phương trỡnh đường thẳng, mối liờn hệ giữa hai đường thẳng vuụng gúc, rốn luyện kĩ năng phõn tớch, tương tự húa....
Như vậy với cỏc hoạt động để giải bài toỏn này HS đó được củng cố cỏc kiến thức về đường thẳng và đường trũn, vị trớ tương đối giữa đường thẳng với đường trũn, được rốn luyện cỏc kĩ năng như: phõn tớch, tổng hợp, tương tự húa, kĩ năng chuyển đổi bài toỏn...
Vớ dụ 2: Dạy học biện luận số nghiệm của phương trỡnh dựa vào đồ thị hàm số. Trong một hoạt động cú thể cú nhiều hoạt động thành phần. Người GV cần khai thỏc những hoạt động thành phần ẩn chứa trong mỗi hoạt động, nhằm rốn luyện cỏc kĩ năng cho HS. Khi HS đó cú kĩ năng trong cỏc hoạt động thành phần thỡ những hoạt động bao hàm những hoạt động đú sẽ tốt hơn.
Đối với HS hệ DBĐHDT thỡ việc tỏch một hoạt động thành cỏc hoạt động thành phần là rất cần thiết vỡ nú khụng chỉ giỳp cỏc em rốn luyện cỏc kĩ năng mà cũn tạo điều kiện để cỏc em nõng cao tớnh tớch cực tự giỏc của mỡnh, nõng cao năng lực tự học.
Khi dạy hệ thống cỏc bài tập về biện luận số nghiệm của phương trỡnh dựa vào đồ thị hàm số GV cú thể đưa ra rất nhiều cỏc hoạt động thành phần. Chẳng hạn, khi ta dạy giải bài tập sau:
Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh: (x2 + x)2 – m(x2 + x) +1= 0 (1). Ta cú thể đưa ra cỏc hoạt động thành phần sau:
Hoạt động 1: Hóy đặt ẩn phụ và tỡm điều kiện cho ẩn phụ. Cõu trả lời mong đợi : Đặt t = x2 + x
Đặt ẩn phụ là một kĩ năng rất quan trọng trong quỏ trỡnh giải toỏn của HS, kĩ năng này HS đó được rốn luyện rất nhiều trong quỏ trỡnh học về phương trỡnh, bất phương trỡnh. Tuy nhiờn HS vẫn thường hay lỳng tỳng trong việc tỡm điều kiện của ẩn phụ. Một số trường hợp quờn khụng đặt điều kiện, một số khỏc lại đặt điều kiện khụng đỳng hoặc khụng “sit sao” dẫn đến kết quả bài toỏn khụng chớnh xỏc. Vỡ vậy đối với hoạt động này cần cho HS rốn luyện thành thạo hoạt động thành phần là tỡm điều kiện cho ẩn phụ. Chỳng ta cú thể cho HS thực hiện hoạt động này bằng cỏch cho HS tỡm điều kiện của ẩn phụ bằng nhiều cỏch khỏc nhau.
Đối với bài toỏn này, để tỡm điều kiện cho ẩn phụ GV cú thể yờu cầu HS thực hiện cỏc hoạt động sau:
- Để tỡm điều kiện cho ẩn t chỳng ta cú thể làm theo những cỏch nào? Cõu trả lời mong đợi: HS nờu được một số cỏch tỡm điều kiện.
GV chốt lại một số cỏch để tỡm điều kiện của t và yờu cầu HS thực hiện tiếp cỏc hoạt động sau:
- Cỏch 1: Hóy tỡm điều kiện của ẩn phụ bằng việc phõn tớch biểu thức thành tổng cỏc bỡnh phương.
Cõu trả lời mong đợi: t = x2 + x = (x+1 2)2-1
4, nờn t≥-1
4.
- Cỏch 2: Hóy tỡm điều kiện dựa vào hỡnh dạng đồ thị hàm số t.
Cõu trả lời mong đợi: Đồ thị hàm số t là một parabol cú bề lừm quay lờn trờn,
cú tung độ đỉnh là -1
4 nờn t≥-1 4.
- Cỏch 3: Hóy tỡm điều kiện dựa vào tập giỏ trị của t.
Cõu trả lời mong đợi: Tập giỏ trị của t gũm những giỏ trị t làm cho phương trỡnh : x2 + x = t cú nghiệm. Phương trỡnh này cú nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0,
hay 1 + 4t ≥ 0. Vậy t ≥ -1 4.
Hoạt động 2: (Hoạt động ngụn ngữ). Hóy chuyển yờu cầu của bài toỏn sang ẩn mới.
Cõu trả lời mong đợi: Phương trỡnh (1) trở thành : t2 – mt + 1 = 0 (2).
Bài toỏn trở thành: Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh (2) thỏa
món t ≥ -1
4.
Hoạt động 3: Hóy giải bài toỏn theo ẩn mới.
Trong hoạt động này HS được thực hiện cỏc hoạt động thành phần sau:
- Hóy biến đổi bài toỏn một cỏch phự hợp để cú thể dựng đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của (2).
Cõu trả lời mong đợi: Do t = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh (2),
nờn (2) m t2 1 t
+
⇔ = (3)
Cõu trả lời mong đợi: vế trỏi của (3) là một hàm số cú đồ thị là đường thẳng (d) thay đổi nhưng luụn song song với trục hoành, vế phải của (3) là một hàm số cú đồ thị là (C) khụng thay đổi. Số nghiệm của (3) bằng số giao điểm của (d) và
(C) trờn 1; 4
− +∞ữ .
- Hóy khảo sỏt và vẽ đồ thị (d) và (C) trờn cựng một hệ trục tọa độ. - Căn cứ vào đồ thị hóy biện luận theo m số nghiệm của (2).
Hoạt động 4: Hóy đưa ra kết luận của bài toỏn ban đầu.
Để thực hiện hoạt động này, HS phải thực hiện cỏc hoạt động sau:
- Hóy tỡm mối liờn hệ giữa nghiệm t của phương trỡnh (2) với nghiệm x của phương trỡnh (1).
Cõu trả lời mong đợi: Với mỗi t > -1
4 cho ta hai giỏ trị x phõn biệt thỏa món
x2 + x = t và với t = -1
4 cho ta một giỏ trị x thỏa món x2 + x = t.
- Dựa vào nhận xột trờn và kết quả biện luận theo m số nghiệm t của phương trỡnh (2), hóy kết luận theo m số nghiệm của (1).
Vớ dụ 3: Dạy giải bài tập chứng minh bất đẳng thức.
Cú thể núi đõy là một loại bài tập khú khụng những đối với học sinh THPT mà cũn là một dạng toỏn khú đối với học sinh DBĐHDT, vỡ vậy cần phải đưa ra nhiều hoạt động cú thể cho HS cú thể sử dụng cỏc dạng tư duy như: tương tự húa, so sỏnh, xột cỏc trường hợp đặc biệt..., GV cũng cú thể đưa ra cỏc hoạt động thành phần thụng qua cỏc cỏch chứng minh khỏc nhau. Chẳng hạn chỳng ta xột bài toỏn sau:
Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 −ab b+ 2 + a2− +ac c2 ≥ b2+ +bc c2 (1) với mọi a, b, c.
Để giải bài toỏn trờn GV cú thể đưa ra cho HS những hoạt động sau:
Hoạt động 1: Biểu thức nào đó biết liờn quan đến tổng cỏc bỡnh phương cỏc cạnh của tam giỏc? Biểu thức trong căn của bài toỏn cú gần với biểu thức đó biết đú khụng?
Cõu trả lời mong đợi:
- Biểu thức liờn quan đến tổng cỏc bỡnh phương cỏc cạnh của tam giỏc là định lớ cosin trong tam giỏc: a2 = b2 - 2bc.cosA + c2 (1’)
-Biểu thức trong căn tương ứng bằng biểu (1’) ứng với àA = 600, nếu a, b, c là