5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN: PGS TS Dƣơng Tuấn Anh
3.1.2Quá trình ngẫu nhiên tĩnh
Khi phát triển mô hình cho chuỗi thời gian, ta cần biết có quá trình ngẫu nhiên cơ bản nào tạo ra chuỗi đó đƣợc giả định là bất biến theo thời gian hay không. Nếu đặc tính của quá trình ngẫu nhiên thay đổi theo thời gian, tức là quá trình ngẫu nhiên không tĩnh
(non-stationary), thì rất khó biểu diễn chuỗi thời gian trên những thời khoảng quá khứ và tƣơng lai bằng một mô hình đại số đơn giản. Mặt khác, nếu quá trình ngẫu nhiên không đổi theo thời gian, tức là quá trình tĩnh (stationary), thì ta có thể mô hình quá trình thông qua phƣơng trình với các hệ số cố định và các hệ số này có thể đƣợc ƣớc lƣợng từ dữ liệu quá khứ.
Về mặt toán học một quá trình ngẫu nhiên đƣợc gọi là tĩnh (ở một số tài liệu khác còn gọi là tĩnh bậc hai hay tĩnh yếu) nếu nhƣ moment bậc một và moment bậc hai của quá trình là hữu hạn và không thay đổi theo thời gian. Moment bậc một là trị trung bình,
, trong khi moment bậc hai tổng quát là hiệp phƣơng sai (covariance) giữa và . Kiểu hiệp phƣơng sai đƣợc áp trên cùng một đại lƣợng đƣợc gọi là tự hiệp phƣơng sai. Phƣơng sai của quá trình, , là một trƣờng hợp đặc biệt của tự hiệp phƣơng sai khi độ trễ bằng 0. Do vậy một quá trình có tính chất tĩnh nếu nhƣ:
1. Trung bình: (3.1) 2. Phƣơng sai: (3.2) 3. Hàm tự hiệp phƣơng sai chỉ phụ thuộc độ trễ :
SV: Lâm Hoàng Vũ – MSHV: 00708218 24 Tập hợp các hệ số tạo thành hàm tự hiệp phƣơng sai (viết tắt là ACVF) của quá trình. Chú ý rằng .
ACVF thƣờng đƣợc chuẩn hóa để nhận đƣợc một tập hợp các hệ số tự tương quan
(ACF) bởi công thức:
(3.4)
Nếu một quá trình ngẫu nhiên là tĩnh, phân bố xác suất là nhƣ nhau tại mọi thời điểm và hình dạng của nó (hoặc ít nhất vài đặc điểm của nó) có thể đƣợc phỏng đoán bằng cách nhìn vào biểu đồ tần suất của các mẫu quan sát , , …, .
Trong thực hành, ƣớc lƣợng của đại lƣợng trung bình của quá trình có thể đạt đƣợc từ trung bình mẫu của chuỗi:
̅ ∑ (3.5)
Ƣớc lƣợng cùa phƣơng sai có thể tính đƣợc từ công thức phƣơng sai mẫu:
̂ ∑ ̅ (3.6) Và tƣơng tự, ƣớc lƣợng của hàm tự tƣơng quan cũng đƣợc tính từ hàm tự tƣơng quan mẫu:
̂ ∑ ̅ ̅
∑ ̅ (3.7)