I. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1 Định nghĩa.
3. Phương pháp Lagrange (Đưa dạng toàn phương về dạng
chính tắc)
Ý tưởng cơbản của phương pháp Lagrange là từng bước đưa dạng
toàn phương về dạng
(3) với chỉ có tối đa n-1 biến :
…..
Bài toánđược chia làm 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1.Tồn tại i sao cho
Đặt và
ta được có dạng (3) với
là một dạng toàn phương với n-1 biến.
Tiếp tục thuật toán với Q1, sau một số hữu hạn bước ta sẽ đưa Q về
dạng chính tắc. Cuối cùng, để viết được ma trận đổi cơsở, ta viết
Phép chuyển cơsở sang cơsở mới có ma trận
chuyển cơsở là.
Thuật toán Lagrange trình bày trênđây cònđược gọi là "khử các số
hạng chữ nhật".
Trường hợp 2.Với mọi i=1,2,...,n ta có
Ta tìm cáchđưa về Trường hợp 1.
+ Nếu thì dạng toàn phương chỉ còn n-1 biến và chuyển sang xử lý cho .
+ Nếu ngược lại ta làm tiếp tục nhưsau:
Giả sử chẳng hạn . Ta thực hiện biến đổi theo công thức
Khi đó ta được cơ sở mới là với ma trận
chuyển cơsở là
Sau phép biến đổi trên, dạng toàn phương Q có dạng
và vì vậy, với phép biến đổi tọa độ trên, Trường hợp 2 đuợc đưa về
Trường hợp 1 đã khảo sát ở trên.
Ví dụ.
Cho dạng toàn phương Q trong R4.
Ta biến đổi nhưsau
Đặt và khử số hạng chữ nhật của x3:
Đặt
Đây là dạng chính tắc của dạng toàn phươngđã cho. Phép biến đổi
đã tiến hành là
hay
Nhưvậy cơsở của dạng chính tắc là