V. CHÉO HÓA MA TRẬN VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
4.Định nghĩa vector riêng:
a) Cho Vlà một không gian vector n chiều trênK vàT là một toán tử tuyến tính trên V. Khi đó được gọi là một trị riêng của T nếu tồn tại vector sao cho
(1)
Vector u thoả hệ thức (1) được gọi là một vector riêng của T ứng với trị riêng
b) Cho . Khiđó được gọi là một trị riêng của A
nếu tồn tại vector sao cho
Vectoru thoả hệ thức trênđược gọi là vector riêngcủa A ứng với trị riêng . Để đơn giản, ta thường viết thay cho đẳng thức trên.
Ví dụ:
a) Cho xác định bởi ta có
nên là một trị riêng của Tvà u=(1,0) là một vector riêng của Tứng với trị riêng.
b) Với ta có
nên vector là một vector riêng của Aứng với trị riêng .
Nhận xét: Nếu ulà một vector riêng cho trước của T(hoặc A) thì trị riêng tươngứng với nó xác định duy nhất. Thật vậy, giả sử và ' là các trị riêng tươngứng với cùng vector riêng u. Khi đó ta
có và , do đó , mà nên hay
'.
Cho . Đặt . Khi đó là một không gian con của Kn. Hơn nữa, vector là vector riêng của Aứng với trị riêngkhi và chỉ khi
Không gian xác định như trên được gọi là không gian riêng của A ứng với trị riêng.
Chứng minh:
Ta có
Vậy là không gian nghiệm của hệ phương trình nên nó là không gian con của Kn. Khẳng định còn lại là hiển nhiên.
Bằng cách chứng minh tương tự, nếu thì tập hợp là một không gian con của V (đó chính là không gian ). Không gian này được gọi là không gian riêngcủa Tứng với trị riêng.
Nhận xét: Nhận xét rằng toán tử tuyến tính được xác định duy nhất thông qua ma trận biểu diễn của nó theo một cơsở nàođó của Vnên việc khảo sát trị riêng, vector riêng và không gian riêng của toán tử tuyến tính hoàn toàn tương tự nhưở ma trận. Do đó, trong phần còn lại, ta chỉ khảo sát cơsở lý thuyết trên ma trận.
6.Định lý 2:
Cho cóđa thức đặc trưngp(x).Khiđólà trị riêng của
Chứng minh:
Ta cólà trị riêng của A
tồn tại sao cho hay
hệ có nghiệm không tầm thường
là nghiệm của p(x).
7. Mệnh đề:
Nếulà trị riêng bội kcủa Athì . Suy ra, nếu là trị riêngđơn của Athì . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});