V. CHÉO HÓA MA TRẬN VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
12. Thuật toán chéo hóa ma trận:
Dựa vào Định lý 10 ta có thuật toán sau để xác định A có chéo được không và tìm dạng chéo hóa của nó (nếu có).
Bước 1:Tìmđa thức đặc trưng của Atừ đó suy ra các trị riêng của
A. nếu A không có trị riêng nào thì A không chéo được Thuật toán kết thúc, ngược lại thì ta chuyển sang bước 2.
Bước 2: Giả sử A có r trị riêng phân biệt với số bội tươngứng . Nếu thì A không chéođược Thuật toán kết thúc, ngược lại thì ta chuyển sang bước 3.
Bước 3: Với mỗi trị riêng , tìm cơ sở của không gian riêng từ đó suy ra . Nếu tồn tại sao cho thì A không chéo được Thuật toán kết thúc, ngượclại thì ta chuyển sang bước 4.
Bước 4:Lập ma trận Pvới các cột của Plần lượt là các vector cơ sở của các không gian riêng . KhiđóPlàm chéoAvà là một dạng chéo của A với các phần tử trên đường chéo chính lần lượt là các trị riêngứng với các vector riêng tạo nênP, trị
riêng xuất hiện trênđường chéo chính lần, .
Ví dụ: Xét xem ma trận A có chéo được trên R không ? Nếu được, hãy tìm ma trận Plàm chéoAvà viết dạng chéo của A.
;Giải. Giải.
a) Ta có nên A chỉ có một trị riêng (đơn), dođóAkhông chéođược.
b) Ta có và (đơn)
hayx = -2(kép). Vậy Acó 2 trị riêng(kép) và (đơn).
Với trị riêng, ta có
. Suy ra . Dođó bội
số của Vậy Akhông chéođược.
c) Ta có và
Vậy A có đúng 3 trị riêng phân biệt nên A chéođược.
Với ta có . Vậy E1 có
Với ta có . Vậy E2có một cơsở là
Với ta có .
Vậy E3có một cơsở là
Đặt .Khi đó P làm chéo A và dạng chéo tương ứng
là
d) Ta có . Do đó A có các trị riêng (đơn) và (bội 2).
Không gian riêng có một cơ sở là , không
gian riêng có một cơsở là . Dođó
là cơsở của IR3và ta có ma trận Psauđây chéo hóa A:
Ví dụ:
Cho T là toán tử tuyến tính trên R3có ma trận biểu diễn đối với cơ sở chính tắc là:
Đa thức đặc trưng của Alà:
DođóTcó các trị riêng là và Ta có
nên có cơ sở gồm hai vector (1,0,2),
nên có cơsở (1,-3,-3).
Vì nênT chéo hóađược. Ma trận biểu diễn
Tđối với cơsở
là
với
VI. KHÔNG GIANĐỐI NGẪU
1.Định nghĩa 1:
ChoV là một không gian vector trên trường K. Khi đó, nếu ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính thì f được gọi là một dạng tuyến tínhhay một phiếm hàm tuyến tínhtrênV.
Đặt thì là một không gian vector, được gọi là
Nhận xét: KhiVhữu hạn chiều và dimV = mthì dimV*= m, vì
Ví dụ:
a) Cho . Nếu định nghĩa ánh xạ bởi
(1)
thìflà một phiếm hàm tuyến tính trênKnvà ma trận biểu diễn fđối với cơsở chính tắc là
Hơn nữa, mọi phiếm hàm tuyến tính fđều có ma trận biểu diễn đối với cơ sở chính tắc là ma trận dòng nênf được xác định bởi công thức (1).
b)Với mỗi , ta gọi hàm vết của A là
Khi đó tr là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian vector vì .
2.Định lý:
Cho V là một không gian vector m chiều trên K và là một cơsở của V. Khiđó tồn tại duy nhất một
(2) Hơn nữa, với mọi ta có
(3) và với mọi ta có
(4)
Chứng minh:
Với mỗi i = 1,2,…,n ta có duy nhất một phiếm hàm tuyến tính fi
trênVthỏa
Khiđó tập hợp độc lập tuyến tính. Thật vậy, nếu
thì với mọi jta có
(5)
Do đó, nếu f = 0 thì nên B* độc lập tuyến tính trongV*.Mà dimV*= nnênB*chính là một cơsở của V*
.
Tương tự, nếu thì với mọi j=1,2,…,n ta có
Dođó biểu thức biểu diễn u dưới dạng tổ hợp tuyến tính của Blà: