V. CHÉO HÓA MA TRẬN VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
3.Định nghĩa 2:
Cơsở B*
xác định nhưtrongĐịnh lý 3 được gọi làcơsở đối ngẫu
của B. Và do biểu thức (4), ta gọi fi làhàm tọa độ thứ itheo cơsở
B.
Ví dụ.
Cho . KhiđóBlà một cơ
sở của R3, và với mọi ta có:
(1) Gọi là cơ sở đối ngẫu của B. Khi đó
nên từ (1) suy ra .
Tương tự ta có và
(Bài toán ngược). Cho là không gian các đa thức bậc và là ba số thực đôi một khác nhau. Với mỗi i=1,2,3đặt
xác định bởi. Khi đó dễ dàng chứng minh là một cơsở của V*
.
Thật vậy, với mọi nếu thì
. Lần lượt lấy suy ra.
. Mà
nên
Do đó B* độc lập tuyến tính, mà nên nó chính là một cơ sở của V*. Để tìm cơ sở B của V sao cho B* là cơ sơ đối ngẫu, ta đặt:
sao cho với
Từ (2) và (3) suy ra t2, t3là nghiệm của p(x)nên Mà từ (1) ta có nên suy ra dođó Tương tự cũng có và BÀI TẬPCHƯƠNG 5
Bài 1: ChoV là không gian các đa thức có bậc là toán tử đạo hàm trênV. Hãy xácđịnh Im(D) và ker(D).
Bài 2: Tồn tại hay không một ánh xạ tuyến tính f từ R3 đến R2
thỏa và
Bài 3: Cho
là các vector trong R2. Tồn tại hay không ánh xạ tuyến tính ftừ R2
sang R2sao cho i=1,2,3.
Bài 4: Choflà ánh xạ từ R3
sang R3được định nghĩa bởi:
a) Kiểm chứng flà ánh xạ tuyến tính. b) Nếu u=(a,b,c)là một vector của IR3
, tìmđiều kiện của a,b,csao cho , từ đó hãy tìm hạng của f.
c) Tìm điều kiện của a,b,c để . Xác định không gian ker(f). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 5: Tìm một ánh xạ tuyến tính ftừ R3đến R3
có Im(f) là
Bài 6: Cho và . Chứng minh rằng
Bài 7: Cho và là các ánh xạ tuyến tính. Chứng minh rằng không khả nghịch
Bài 8: Tìm hai toán tử tuyến tính sao cho gf =0
nhưng .
Bài 9: Cho flà ánh xạ tuyến tính từ R3
sang R2được định nghĩa bởi:
a) Xác định ma trận biểu diễn của f đối với 2 cơ sở chính tắc B0
(của R3
) và (của R2 ).
b) Với cặp cơ sở và , trong đó
thì ma trận biểu diễn của fđối với B,B’là gì?
Bài 10:
Cho f là một toán tử tuyến tính trên R3có ma trận biểu diễn đối với
cơ sở chính tắc là . Tìm một cơ sở cho Im(f) và một cơsở cho ker (f).
Bài 11: Choflà toán tử tuyến tính trên R2được xác định bởi .
a) Tìm , trongđóB0là cơsở chính tắc của R2 . b) Tìm ma trận biểu diễn của f đối với cơsở được sắp
với .
c) Tìm tất cả các số thực sao cho toán tử tuyến tính khả nghịch.
Bài 12: Choflà toán tử tuyến tính trên R3được xác định bởi:
a) Tìm ma trận biểu diễn fđối với cơsở chính tắc của R3 . b) Tìm ma trận biểu diễn fđối với cơsở được sắp
c) với
Chứng minh rằng fkhả nghịch và tìmf-1.
Bài 14: Tìm trị riêng , cơ sở của không gian con riêng của các ma trận sau đây trên R, từ đó suy ra dạng chéo của nó trong trường hợp nó chéo hóa được:
Bài 15: Chứng minh rằng các ma trận sau đây không chéo hóa
được trên R.
Bài 16: Chứng tỏ rằng các ma trận sau đây chéo được trên R và
Chương 6
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});