1.Định nghĩa ma trận đồng dạng:
Hai ma trận được gọi là đồng dạng với nhau (ký hiệu là ), nếu tồn tại ma trận khả nghịch sao cho
Nhận xét:
a) ;
b) Nếu thì ;
c) Nếu và thì ;
d) Nếu thì detA= detB.
2.Định nghĩa về toán tử tuyến tính:
ChoVlà một không gian vector nchiều trênK. Khiđó một ánh xạ tuyến tính từ Vvào chính nóđược gọi là một toán tử tuyến tínhtrên
V.
Ký hiệu L(V)là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính trênV. Khiđó
L(V) là một không gian vector trên K, đẳng cấu với không gian
Mn(K)các ma trận vuông cấp n.
Nhận xét rằng, nếu B và B’ là hai cơ sở của V và P là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ thì công thức dưới đây là trường hợp riêng của công thức trong mệnh đề III.6.
Nhận xét: Ma trận biểu diễn cùng một toán tử tuyến tính f đối với những cơsở khác nhau là những ma trận đồng dạng với nhau.
Ví dụ:
Cho Vlà không gian vector gồm các đa thức có bậc . Gọi D là toán tử đạo hàm trênVvà gọi
là cơsở được sắp của Vđược định nghĩa bởi
Với đặt nghĩa là:
Gọi Plà ma trận biểu diễn của đối với cơsở B. Vì
nên là một cơsở được sắp của V. Ta lại có
nên
. Dođó
Bằng cách tính trực tiếp , ta cũng thuđược kết quả trên.
ChoVlà một không gian vector n chiều trênK, Blà một cơsở của
Vvà . Khiđófsong ánh khi và chỉ khi khả nghịch.
Ví dụ:
Cho xácđịnh bởi.
Khiđó.
với là cơsở chính tắc của .
Ta có nên khả nghịch, do đó là một song ánh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});