5. Phân tích hậu nghiệm
5.2.2. Pha 2 và pha 3: Tiếp cận và sử dụng hệ phương trình
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và các kỹ thuật giải hệ xuất hiện như là kết quả của việc giải quyết các bài tốn trong tốn học và ngồi tốn học
Bảng 4. Thống kê chiến lược giải của các nhĩm trong pha 2 và pha 3
Ssđ Spt S2h Chiến lược khác Khơng trả lời Kỹ thuật cộng Kỹ thuật thế Khơng trình bày Câu 2.2 N3 N1, N2, N6 N2, N5, N6 N1, N3, N4 Câu 3 N4 N2, N5 N1 N3, N6 ♦ Pha 2
Trong pha 1, học sinh đã xác định được phương trình y + 2x = 115 nên sau khi thảo luận về đề thì các nhĩm thiết lập được phương trình thứ hai mà khơng gặp nhiều trở ngại.
- H17: Nếu bớt số thứ hai một giá trị bằng hai lần số thứ nhất ta được 15. Vậy y – 2x = 15. (Protocole câu 63, nhĩm 5)
Sau khi lập được hai phương trình các nhĩm bắt đầu tìm cách giải tìm x, y.
- H2: Sao Bình cĩ thể trả lời được? Giải khơng được.
- H3: Hai dữ kiện đúng khơng? Cĩ phương trình 1 là: 2x + y = 115, phương trình 2 là y – 2x = 15.
- H4: x = (y –15):(- 2) (Protocole câu 18-20, nhĩm 1)
Trong phần tranh luận, các nhĩm đã đưa ra cách thực hiện các kỹ thuật giải hệ (kỹ thuật thế và kỹ thuật cộng đại số) mặc dù tên gọi của chúng chưa xuất hiện.
- H8: Muốn giải hai phương trình này lấy hai vế trừ nhau. (Protocole câu 31, nhĩm 2)
- H11: y = 2x +15, thế vào trên là tìm được x rồi. (Protocole câu 42, nhĩm 3) - H21: Cộng hai vế phương trình lại – 2x + 2x = 0 rồi. (Protocole câu 68, nhĩm 6)
Sau khi tranh luận, các nhĩm đã trình bày khá rõ ràng các kỹ thuật giải hệ. Bài làm của nhĩm 4 đã thể hiện kỹ thuật thế bằng nhiều cách khác nhau. Nhĩm 1 và nhĩm 3 cũng giải hệ bằng kỹ thuật thế. Theo đề bài, ta cĩ: 2x + y = 115 (1) y – 2x = 15 ⇒y = 15 + 2x (2) Thế (2) vào (1) ta được: 2x + 15 + 2x = 115 […] ⇔x = 25⇒y = 15 + 2x = 15 + 25.2 = 65 (Trích bài làm nhĩm 4 pha 2)
Nhĩm 2, nhĩm 5 và nhĩm 6 giải hệ bằng kỹ thuật cộng đại số.
Gọi x, y lần lượt là số thứ nhất và số thứ hai (0 ≤ x ≤ 57,5) (0 ≤ y ≤ 115) Theo đề bài, ta cĩ 2 phương trình:
2x + y = 115 (1) y – 2x = 15 (2) Ta lấy (1) + (2) ta được: 2y = 130 ⇒y = 65 Ta cĩ: 2x = y – 15 = 65 – 15 = 50 ⇒x = 25 (Trích bài làm nhĩm 6 pha 2)
Nhĩm 6 đặt điều kiện chặt cho ẩn, nhĩm 3 cũng cĩ điều kiện x, y nguyên dương mặc dù trong bài tốn này hồn tồn khơng cĩ điều kiện nào cho hai số. Điều này cũng phù hợp với kết luận của Nguyễn Thị Minh Vân (2012):
“Học sinh luơn đặt điều kiện cho ẩn, thậm chí là “điều kiện chặt” nhưng khơng cĩ thĩi quen kiểm tra, suy nghĩ liệu đáp án cĩ thỏa điều kiện và phù hợp với bài tốn hay khơng. Đối với học sinh ẩn luơn cĩ giá trị dương.”
[Nguyễn Thị Minh Vân (2012); tr.71] Chúng tơi chọn các giá trị đủ khĩ đã làm chiến lược thử - sai hồn tồn
khơng xuất hiện (kể cả trong phần tranh luận của các nhĩm). Chiến lược Ssđ chỉ cĩ
nhĩm 3 thực hiện.
Chiến lược phương trình chỉ cĩ 3/6 nhĩm thực hiện mặc dù học sinh mới gặp
trong lớp 8. Theo chúng tơi cĩ thể do trong pha 1 nhiều học sinh đã thiết lập được
phương trình bậc nhất hai ẩn. Ngồi ra, giả thiết thứ hai được cho tương tự như giả thiết thứ nhất nên việc lập phương trình hai ẩn thứ hai này khơng cĩ nhiều trở ngại.
Kết thúc pha 2 giáo viên đã yêu cầu hai nhĩm giải thích cách làm của nhĩm và giáo viên lưu ý vấn đề đặt điều kiện cho ẩn của học sinh.
- H10: Cách làm của nhĩm 3 tụi con là gọi x là số thứ nhất y là số thứ hai, điều kiện x, y nguyên dương.
- GV: Tại sao cĩ điều kiện x, y nguyên dương?
- H10: Tại vì hai số khơng thể nào là số thập phân được, là số nguyên dương? - GV: Các em cĩ đồng ý với ý kiến của bạn khơng?
- GV: Bạn An cĩ yêu cầu điều kiện này khơng các em? - Cả lớp: Khơng. (Protocole câu 84-89)
Như vậy qua pha 2 tất cả các nhĩm đã thiết lập được hai phương trình và sử dụng ngầm ẩn các kỹ thuật giải hệ (kỹ thuật thế và kỹ thuật cộng đại số). Với bài tốn này thì cả ba chiến lược Ssđ, Spt và S2h đều là chiến lược tối ưu nhưng chiến
lược S2h vẫn chiếm ưu thế. Điều này cĩ được là do việc chọn giá trị các biến khi
được chọn trực tiếp từ câu hỏi trong bài tốn (V4). Giá trị biến V4 làm cho học sinh dễ dàng phiên dịch dữ kiện bài tốn thành các phương trình.
Với bài tốn tìm hai số này, kiến thức về hệ phương trình và kỹ thuật giải hệ phương trình xuất hiện một cách tự nhiên ở học sinh trong quá trình giải quyết bài tốn.
♦ Pha 3
Đến pha 3, bài tốn chúng tơi đặt ra với câu hỏi “Hỏi khi bán với giá giảm giá
thì cơ Ba lời hay lỗ, số tiền này là bao nhiêu?”, đại lượng cần tính đến như ẩn số
khơng được nêu tường minh trong câu hỏi. Điều này gây khơng ít khĩ khăn cho học sinh khi gọi ẩn. Nhĩm 3 và nhĩm 6 đã khơng trả lời được. Nhĩm 3 tranh luận về đề bài khá lâu để xác định đại lượng cần tìm và cách gọi ẩn.
- H11: Gọi x là số tiền bán cá được ngày hơm qua, y là số tiền bán cá được ngày hơm sau. (Protocole câu 113, nhĩm 3)
- H10: Phải gọi x là số tiền bán cá điêu hồng lúc giảm giá thì đúng hơn. (Protocole câu 115, nhĩm 3)
Nhĩm 6 cũng dành nhiều thời gian để thảo luận đề và nhất là tranh luận làm thế nào để tính tiền lời.
- H22: Gọi x số tiền lúc bình thường, y số tiền lúc giảm giá. - H21: Lời hay lỗ mình tính cái gì?
- H22: 29x + 6y = 139000. (Protocole câu 154 - 156, nhĩm 6)
Nhĩm 6 lập được một phương trình bậc nhất hai ẩn nên khơng thể tìm được x, y. Nhĩm này đã gộp hai giả thiết làm một (tính số kg cá bán được lúc chưa giảm giá và lúc giảm giá sau đĩ lập phương trình thể hiện tổng tiền lời trong hai ngày). Theo chúng tơi việc khơng xác định được đi tìm cái gì đã khiến nhĩm này khơng lập được các phương trình tương ứng.
Nhĩm 1 tuy cĩ trả lời nhưng khơng phải dùng chiến lược hệ mà dùng số tiền lời tổng chia cho số kg cá tính ra tiền lời mỗi kg cá. Nhĩm này đã khơng hiểu được
yêu cầu bài tốn và cũng như nhĩm 6 nhĩm này cũng khơng xác định được đại lượng thực tế cần phải tìm.
Các nhĩm cịn lại mặc dù cĩ trả lời nhưng đều gọi ẩn là đại lượng được nêu tường minh trong bài tốn (giá bán trước và sau giảm giá).
Gọi x là giá tiền bán cá lúc đầu y là giá tiền bán cá khi giảm giá Theo đề bài ta cĩ: 16x + 4y = 76000 2 76000 16 2 x y − ⇒ = (1) 13x + 2y = 63000 (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
76000 16 13 63000 (...) 2 5000 x x x − + = ⇔ = Vì 2 76000 16 76000 16.5000 2000 2 2 x y= − = − = − ⇒y = – 1000 Vậy khi giảm giá cơ Ba lỗ và lỗ 1000/kg.
(Trích bài làm nhĩm 4 pha 3)
Trong pha này, do cĩ bước đệm là pha 1 và pha 2 nên các nhĩm trả lời đều thiết lập hai phương trình và giải bằng kỹ thuật thế. Học sinh chọn ẩn là hai đại lượng được đề cập tường minh trong bài tốn đĩ là giá bán mỗi kg cá trước và sau giảm giá. Như vậy, mặc dù cách gọi ẩn số chưa đúng nhưng cơng cụ hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã được sử dụng bởi hầu hết các nhĩm học sinh.
Chúng tơi cĩ thể kết luận rằng qua pha 2 và pha 3, hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn xuất hiện ở học sinh như là kết quả của việc giải quyết các bài tốn thực tế.
Tiếp cận mơ hình hĩa tốn học
Đối với bài tốn ngồi tốn học ở pha 3, các nhĩm học sinh đã tích cực tìm mơ hình tốn học của nĩ. Tuy nhiên, như chúng tơi đã phân tích ở trên, ngay từ bước đầu tiên các nhĩm đã gặp khĩ khăn trong việc xác định phải tìm đại lượng nào
và gọi ẩn là đại lượng nào vì đại lượng cần tính đến như ẩn khơng được nêu tường minh ở cuối đề tốn. Bài tốn cho số tiền lời mỗi ngày, việc gọi ẩn phải liên quan đến số tiền lời này. Tuy nhiên, các nhĩm theo chiến lược hệ phương trình đã khơng xác định được chính xác đại lượng thực sự cần tìm. Nhĩm 2, nhĩm 4 và nhĩm 5 đều gọi ẩn là giá bán trước và sau giảm giá. Như vậy, bước xây dựng mơ hình tốn học của tình huống này là một vấn đề đối với học sinh.
Quan sát bài làm của nhĩm 2, chúng tơi ghi nhận nhĩm này chỉ nêu cách gọi ẩn và lập được hai phương trình nhưng đã bị gạch đi. Tuy nhiên, trong phần tranh luận nhĩm đã lập được hai phương trình bậc nhất hai ẩn và tính ra được các giá trị x, y.
- H5: 16x + 4y = 76000; 13x +2y = 63000. - H8: x = 5000; y = - 1000.
- H6: Tìm x, y là tìm ra cái gì? - H7: Số tiền lời lỗ là bao nhiêu? - H7: Cĩ cá nào – 1000 kg?
- H5: Hay gọi x, y là cái khác đi. Gọi x là tiền vốn.(Protocole câu 107 – 112)
Mặc dù trước đĩ cĩ thành viên của nhĩm nêu cách gọi ẩn là tiền lời (H8: Gọi
x là số tiền lời mỗi kg,…) nhưng khi trình bày thì nhĩm lại gọi “x là số tiền bán
đúng giá trên kg, y là số tiền bán giảm giá trên kg”. Điều này chứng tỏ học sinh bị
ảnh hưởng của cách gọi ẩn là đại lượng tường minh được nêu trong bài tốn trong phần “giải bài tốn bằng cách lập phương trình”. Khi tính được kết quả y = - 1000
nhĩm đã cĩ những suy nghĩ đối chiếu với thực tế (Cĩ cá nào – 1000 kg?). Thành
viên H5 đã cĩ suy nghĩ đến việc điều chỉnh cách gọi ẩn chứng tỏ đã cĩ học sinh quan tâm đến bước 4 (đối chiếu kết quả thực tế, xây dựng lại mơ hình cho phù hợp). Việc chưa tìm ra cách gọi ẩn phù hợp đã làm cho nhĩm này khơng trình bày đầy đủ bài làm của mình và cũng chứng tỏ nhĩm đã nhận ra mơ hình tốn học mình đang xây dựng là khơng phù hợp.
Nhĩm 4 và nhĩm 5 đã khơng kiểm tra kết quả thu được cĩ phù hợp với thực tế hay khơng. Tuy hai nhĩm này đều gọi ẩn là giá bán trước và sau lúc giảm giá
nhưng khi giải các phương trình ra kết quả âm thì trả lời cơ Ba lỗ. Chúng tơi nghĩ rằng do ở bài tốn này chúng tơi đặt câu hỏi cơ Ba lời hay lỗ nên học sinh đã tìm cách trả lời cho câu hỏi này. Thực tế khi gọi ẩn bằng cách này và giải được y = - 1000 thì lẽ ra các nhĩm cần phải đặt lại vấn đề tại sao giá bán mà lại âm?
Hai nhĩm này đã khơng nhận ra việc lập mơ hình tốn học như trên là khơng phù hợp địi hỏi quá trình này phải thực hiện lại lần nữa.
Kết thúc pha 3, giáo viên gọi nhĩm 4 và nhĩm 5 giải thích cách làm của nhĩm. Cả hai nhĩm đều gọi ẩn là giá bán trước và sau giảm giá, đều ra kết quả y = - 1000 và kết luận cơ Ba lỗ.
- GV: Các em cĩ đồng ý với cách làm của hai nhĩm 4 và 5 khơng?
- GV: x là giá bán mỗi kg cá khi chưa giảm giá. x = 5000 thầy cĩ thể hiểu là khi chưa giảm giá mỗi kg bán được 5000 đồng, y là giá bán lúc giảm, vậy y = - 1000 cĩ nghĩa là sao? Em nào cĩ thể giải thích được? […]
- GV: Bài tốn cho dữ kiện liên quan đến số tiền lời, vậy chúng ta phải gọi ẩn là số tiền lời. […]
- H20: x là tiền lời mỗi kg cá lúc chưa giảm giá, y là tiền lời mỗi kg cá khi giảm giá. (Protocole câu 163 – 168).
Thơng qua pha này giáo viên cũng tổng kết quá trình làm việc của học sinh và đưa ra thuật ngữ mơ hình hĩa tốn học.
- GV: Đây là một bài tốn cĩ nội dung thực tế, như các em đã thấy muốn giải cần phải xây dựng các phương trình tốn học, giải các phương trình ta được kết quả của bài tốn tốn học, sau đĩ phải đối chiếu với thực tế trả kết quả cho bài tốn ban đầu. Quá trình này gọi là quá trình mơ hình hĩa tốn học.
- GV: Các em thấy rằng quá trình đĩ khơng phải chỉ dừng lại trong một lần thực hiện. Ví dụ như các bạn nhĩm 5 gọi ẩn là giá bán thì kết quả nhận được khơng hợp lý, giá bán thì khơng thể âm. Khi đĩ quá trình trên phải được thực hiện lại để thiết lập được bài tốn tốn học phù hợp hơn. […](Protocole câu 170 – 171).
Từ đây học sinh đã được tiếp cận mơ hình hĩa tốn học.