4. Phân tích tiên nghiệm
4.2.Chiến lược và cái cĩ thể quan sát được, ảnh hưởng của biến
4.2.1. Phiếu số 1
Chúng tơi dự đốn học sinh cĩ thể trả lời theo hai khả năng:
+ Học sinh trả lời cĩ và chọn một cặp số thỏa mãn yêu cầu của bài tốn. Cĩ thể học sinh sẽ đưa ra nhiều cặp số thỏa mãn yêu cầu.
+ Học sinh trả lời khơng vì chưa đủ dữ kiện hoặc cĩ nhiều cặp số thỏa mãn. Trong khả năng này chúng tơi mong muốn học sinh thiết lập được biểu thức 2x + y = 115 (với x, y là hai số cần tìm).
4.2.2. Phiếu số 2 và phiếu số 3
♦Sthử-sai: Chiến lược “Thử - sai”
Lập mối liên hệ giữa hai số. Lần lượt thử các số đến khi tìm được một cặp số thỏa yêu cầu.
♦Ssđ: Chiến lược “Lập sơ đồ”
Vẽ sơ đồ đoạn thẳng và dựa vào quy tắc tìm số lớn số bé trong bài tốn tìm hai số khi biết tổng hiệu hai số đĩ.
♦ Spt: Chiến lược “Lập phương trình”
+ Gọi một ẩn và lập phương trình để giải. + Kết luận.
♦ S2h: Chiến lược “Lập hệ hai phương trình hai ẩn” + Gọi hai ẩn
+ Lập các phương trình từ giả thiết.
+ Lập hệ và giải hệ phương trình tìm được. + Kết luận.
Phân tích chi tiết cái cĩ thể quan sát được:
♦ Pha 2
Với chiến lược Sthử-sai, chúng tơi cĩ thể dự đốn học sinh trình bày như sau:
Chọn cặp số thỏa điều kiện thứ nhất, sau đĩ thử điều kiện thứ hai cho đến khi cĩ một cặp số thích hợp.
Cái cĩ thể quan sát gắn với chiến lược Ssđ,
Hai lần số thứ nhất: Số thứ hai: Vậy số thứ hai là 115 15 65 2 + = . 15 115 ? ?
Hai lần số thứ nhất là 115 15 50 2
− =
. Số thứ nhất là 25.
Cái cĩ thể quan sát gắn với chiến lược Spt, học sinh cĩ thể gọi một ẩn là số thứ nhất hoặc số thứ hai.
Gọi x là số thứ nhất. Suy ra số thứ hai là 115 – 2x. Theo giả thiết ta cĩ phương trình 115 – 2x – 2x = 15. Giải phương trình trên ta được x = 25.
Vậy số thứ nhất là 25, số thứ hai là 65.
Đối với chiến lược S2h, học sinh cĩ thể trình bày như sau: Gọi x, y lần lượt là hai số cần tìm.
Theo giả thiết ta cĩ hai phương trình:
2x + y = 115
y – 2x = 15
Cộng vế theo vế hai phương trình ta được 2y = 130, suy ra y = 65 và x = 25. Vậy số thứ nhất là 25, số thứ hai là 65. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong chiến lược này học sinh cĩ thể giải hai phương trình trên bằng kỹ thuật thế.
Giá trị của biến V2 được chọn ở pha này là tình huống trong tốn học, cụ thể là bài tốn tìm hai số được cho dưới dạng câu đố. Đây là bài tốn quen thuộc đối với học sinh với chiến lược sơ đồ hoặc chiến lược phương trình. Giá trị biến V1
chúng tơi chọn là làm việc theo nhĩm sau pha 1 tạo điều kiện cho học sinh tìm ra
được nhiều cách giải theo yêu cầu. Giá trị của biến V3 là giải bằng ít nhất ba cách cùng với giá trị của V4 là đại lượng cần tính đến như ẩn số được nêu tường minh trong câu hỏi đặt ra ở cuối bài tốn tạo điều kiện thuận lợi để học sinh tìm ra chiến
hai ẩn liên hệ giữa hai số thì chiến lược hệ phương trình sẽ cĩ nhiều khả năng xuất hiện.
♦ Pha 3
Chi tiết cái cĩ thể quan sát được trong pha này như sau:
Với chiến lược Spt,
Gọi x là số tiền lời khi chưa giảm giá bán
Suy ra số tiền lời lúc giảm giá bán là 139000 – x
Từ đĩ ta cĩ phương trình 16 139000 4 76000
29 6
x + −x =
Từ đĩ tìm x = 145000.
Số tiền lời sau khi giảm giá 139000 145000− = −6000
Bài tốn cho kết quả âm nhưng trên thực tế, số tiền lời phải là số dương nên cĩ thể học sinh kết luận bài tốn sai hoặc khơng tìm được. Chiến lược này học sinh gặp trở ngại trong việc lập phương trình nên theo chúng tơi chiến lược này sẽ ít xuất hiện.
Với chiến lược S2h : Với việc học sinh đã được tiếp cận ngầm ẩn kiểu nhiệm vụ “Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình” trong pha 2, chiến lược này cĩ khả năng xuất hiện nhiều.
Tùy theo việc gọi ẩn số mà các phương trình lập được sẽ khác nhau và mơ hình nhận được cĩ phù hợp hay khơng đối với tình huống. Chẳng hạn, sau đây là một số cách gọi ẩn số cĩ thể và lời giải tương ứng.
1) Gọi x là số tiền lời khi bán 1kg cá lúc đầu; y là số tiền lời từ 1kg cá lúc
sau.
Theo giả thiết ta cĩ hai phương trình:
13x + 2y = 63000
Giải hai phương trình trên ta được x = 5000; y = - 1000.
Giá trị y < 0 cho thấy khi bán cá với giá giảm giá thì cơ Ba sẽ bị lỗ 1000 đồng cho mỗi kg cá. Đây là lời giải tối ưu của bài tốn. Tuy nhiên, nếu học sinh quan niệm số tiền lời (hay tổng quát hơn là ẩn được chọn trong bài tốn) luơn luơn phải là số dương thì cĩ thể học sinh sẽ loại nghiệm y.
2) Gọi x là số tiền lời lúc đầu; y là số tiền lời sau khi giảm giá bán. Theo giả thiết ta cĩ hai phương trình:
16 4 76000 29 6 13 2 63000 29 6 x y x y + = + =
Giải hai phương trình trên ta được x = 145000; y = - 6000.
Tương tự như trong trường hợp 1, nghiệm y < 0 cĩ thể sẽ bị loại. Việc lập hai phương trình theo cách chọn ẩn này sẽ khĩ khăn hơn vì vậy, nĩ khĩ cĩ khả năng xuất hiện.
3) Nếu ẩn số được chọn là đại lượng được đề cập tường minh trong đề bài
(giá bán 1 kg cá lúc đầu và lúc sau) thì cĩ thể xuất hiện lời giải sau: Gọi x là giá bán 1kg lúc đầu; y là giá bán 1kg cá lúc sau. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Theo giả thiết ta cĩ hai phương trình:
16x + 4y = 76000 13x + 2y = 63000
Giải hai phương trình trên ta được x = 5000; y = - 1000.
Nếu đối chiếu với thực tế thì học sinh sẽ thấy sự vơ lý ở đây vì giá bán 1 kg cá lúc sau là một số âm. Điều này tạo mơi trường phản hồi cho phép học sinh điều chỉnh lại lời giải.
Đây là một bài tốn thực tế nên nĩ sẽ hạn chế chiến lược sơ đồ, tạo thuận lợi cho chiến lược phương trình và hệ phương trình xuất hiện. Biến V4 chúng tơi chọn giá trị là các ẩn cần chọn khơng được nêu tường minh trong câu hỏi ở cuối đề tốn.
4.2.3. Phiếu số 4
Chúng tơi đặt học sinh trong tình huống chọn lựa mơ hình tốn học tương ứng với bài tốn thực tế. Với yêu cầu xác định rõ các yếu tố tương ứng với mơ hình đĩ, chúng tơi cĩ thể dự đốn học sinh trả lời theo hai hướng như sau:
+ Chọn ẩn trực tiếp. + Chọn ẩn gián tiếp.
Chi tiết cái cĩ thể quan sát được như sau :
Chọn hệ (1) với v1, v2 lần lượt là vận tốc của An và Bình (m/s). Chọn hệ (2) với x, y lần lượt là vận tốc của An và Bình (m/s).
Chọn hệ (3) với t1, t2 lần lượt là thời gian của An và Bình đi mỗi mét (s). Chọn hệ (4) với x, y lần lượt là thời gian của An và Bình đi mỗi mét (s). Trong hệ (1) và (2), các ẩn được gọi trực tiếp từ các đại lượng được nêu tường minh trong đề tốn. Việc lập các phương trình cũng khơng gặp trở ngại. Tuy nhiên, việc giải hệ phương trình lập được sẽ khĩ khăn hơn (cần phải đặt ẩn phụ). Các ẩn của hệ (1) gắn liền với tình huống (vận tốc kí hiệu là v) trong khi các ẩn của hệ (2) tách rời khỏi tình huống thực tế (ẩn là x, y).
Với hệ (3) và (4), cách chọn ẩn gián tiếp (đại lượng được chọn làm ẩn khơng được nêu tường minh trong câu hỏi ở cuối đề tốn), việc gọi ẩn sẽ khĩ khăn hơn. Tuy nhiên, hệ phương trình lập được lại đơn giản và cho phép giải quyết nhanh bài tốn. Các ẩn của hệ (3) gắn liền với tình huống (thời gian kí hiệu là t) trong khi các ẩn của hệ (4) tách rời khỏi tình huống thực tế (ẩn là x, y).
4.2.4. Phiếu số 5
Câu hỏi 5.1:
Chi phí sử dụng loại thứ nhất y = 5x + 150. Chi phí sử dụng loại thứ hai y = 15x. Đồ thị 2 4 6 8 10 12 14 16 18 50 100 150 200 x y
Tọa độ giao điểm (15; 225).
Ý nghĩa của giao điểm: Nếu trong tháng gia đình này chỉ sử dụng 15 giờ bơm thì chọn hình thức nào cũng như nhau. Ngồi ra, về mặt tốn học tọa độ giao
điểm này chính là nghiệm của hệ 5 150
15 y x y x = + = . Câu hỏi 5.2:
Với thời gian sử dụng máy bơm ít nhất 30 giờ thì gia đình này nên chọn loại thứ nhất.
Chúng tơi dự đốn học sinh sẽ giải thích theo các chiến lược sau:
+ Chiến lược đồ thị: Dựa vào hình vẽ. Theo hướng này học sinh sẽ chọn loại thứ nhất, do số giờ bơm lớn hơn 30 giờ và theo đồ thị nếu số giờ bơm lớn hơn 15 giờ thì loại thứ nhất cĩ chi phí thấp hơn.
225
15 0
+ Chiến lược đại số: Tính chi phí sử dụng theo hai hình thức và so sánh. Chi phí sử dụng loại thứ nhất y = 5.30 + 150 = 300 (ngàn đồng).
Chi phí sử dụng loại thứ hai y = 15.30 = 450 (ngàn đồng) Vậy gia đình này nên chọn loại thứ nhất.
Bài tốn này đặt ra vấn đề khai thác mơ hình tốn học để giải thích cho tình huống thực tế, ngồi ra cũng tạo điều kiện giúp học sinh tiếp cận kỹ thuật giải hệ phương trình bằng đồ thị.
4.3. Phân tích kịch bản
Các pha của đồ án dạy học được dàn dựng nhằm thực hiện tiến trình dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mơ hình hĩa:
Xuất phát từ bài tốn thực tiễn → Xây dựng mơ hình tốn học (hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) → Câu trả lời cho bài tốn thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy (định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) → Vận dụng tri thức này vào giải các bài tốn thực tiễn khác. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cụ thể, pha 1, pha 2 và pha 3 nhằm thực hiện 3 mắt xích đầu tiên của tiến trình dạy học. Pha 4 tương ứng với mắt xích thứ tư và pha 5, pha 6 thực hiện mắt xích thứ năm của tiến trình. Cụ thể tiến trình dạy học được chúng tơi xây dựng như sau: pha 1, pha 2 và pha 3: Tiếp cận và sử dụng hệ phương trình → pha 4: Thể chế hĩa → pha 5 và pha 6: Vận dụng.
Trong pha 1 chúng tơi mong muốn học sinh từ mối liên hệ của hai số thiết lập thành một biểu thức chứa hai ẩn (phương trình bậc nhất hai ẩn). Pha này là bước đệm giúp học sinh dễ dàng xây dựng hệ phương trình trong pha 2.
Pha 2 là bước chuẩn bị cần thiết giúp học sinh cĩ suy nghĩ đến việc lập hệ và
giải hệ phương trình trong pha 3. Thực tế trong pha 2 chúng tơi đã chọn bài tốn mà hệ phương trình lập được cĩ thể giải bằng kỹ thuật cộng đại số hoặc kỹ thuật thế một cách dễ dàng. Điều này giúp học sinh trong việc hình thành kỹ thuật giải hệ trong pha 3.
Pha 1 và pha 2 đặt ra bài tốn khá quen thuộc với học sinh (tìm hai số) với các chiến lược học sinh đã biết là lập sơ đồ, lập phương trình. Tuy nhiên, với câu hỏi ở pha 1 yêu cầu học sinh giải thích tại sao Bình khơng trả lời được câu đố của An và yêu cầu giải bằng ít nhất 3 cách trong pha 2, chúng tơi mong muốn sẽ xuất hiện chiến lược hệ phương trình ở học sinh (ngầm ẩn hoặc tường minh). Pha này làm tiền đề cho bước chuyển sang pha 3 vì ở pha 3, các chiến lược thử-sai và chiến lược “lập sơ đồ” khơng cho phép giải quyết bài tốn. Chiến lược phương trình cũng khá đắt giá vì sự khĩ khăn trong việc lập phương trình. Như vậy, trong khi ở pha 2 các chiến lược lập sơ đồ, lập phương trình hay hệ phương trình đều đi đến lời giải tối ưu thì ở pha 3, chỉ cĩ chiến lược hệ phương trình là chiến lược tối ưu cho phép giải quyết bài tốn.
Như vậy, pha 3 nhấn mạnh hơn vai trị cơng cụ của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và mối liên hệ giữa tình huống thực tế và mơ hình tốn học. Qua pha này, chúng tơi mong muốn cho học sinh tiếp cận việc mơ hình hĩa tốn học một tình huống thực tế. Bước đầu tiên học sinh cần phải xác định yêu cầu bài tìm cụ thể là yếu tố nào để từ đĩ xây dựng mơ hình tốn học. Kết quả bài tốn cũng địi hỏi học sinh quay trở lại tình huống thực tế kết luận người bán cá bị lỗ (tương ứng bước 4 của quá trình mơ hình hĩa).
Pha 4 nhằm ghi nhận kết quả thu được từ pha 2, pha 3, đưa ra khái niệm hệ phương trình và các phương pháp giải hệ, các bước thực hiện kiểu nhiệm vụ giải bài tốn thực tế bằng cách lập hệ phương trình.
Pha 5 và pha 6 nhằm tạo điều kiện cho học sinh vận dụng hệ phương trình như một cơng cụ trong việc giải quyết các bài tốn thực tế. Pha 5 chúng tơi đặt cho học sinh vấn đề sự tương ứng bài tốn và mơ hình tốn học. Từ đĩ chúng tơi mong muốn học sinh nhận ra được một bài tốn cĩ thể cĩ nhiều mơ hình tốn học tương ứng khác nhau, tùy theo mơ hình được chọn mà bài tốn trở nên dễ dàng hơn hay khĩ khăn hơn. Pha 6 giúp học sinh cĩ khả năng khai thác mơ hình tốn học rút ra
các nhận xét cho tình huống thực tế. Ngồi ra chúng tơi cũng mong muốn học sinh tiếp xúc với kỹ thuật giải hệ bằng đồ thị.
5. Phân tích hậu nghiệm
Thực nghiệm được triển khai tại lớp 96 (24 học sinh) của trường Trung học
cơ sở Phường 1 – thị xã Gị Cơng, Tiền Giang.
Dữ liệu thu thập được bao gồm: Bài làm cá nhân của học sinh trên phiếu số 1 và phiếu số 4, lời giải phiếu số 2, phiếu số 3 và phiếu số 5 của 6 nhĩm được trình bày trên giấy A0, giấy nháp của các học sinh, ghi âm buổi học và ghi âm trao đổi của các nhĩm.
5.1. Ghi nhận tổng quát
Việc tiếp cận với phương trình bậc nhất hai ẩn trước đĩ đã giúp đa số học sinh nhận ra trong câu đố của An là thiếu dữ kiện và học sinh lập được phương trình y + 2x = 115.
Trong pha 2, pha 3 và pha 6, các nhĩm học sinh thảo luận rất sơi nổi để giải
quyết các câu hỏi đặt ra.
Bảng 2. Thống kê số nhĩm giải theo các chiến lược Câu 2.2 Câu 3
Ssđ 1 0
Spt 3 0
S2h 6 3
Sthử-sai 0 0
Chiến lược hệ phương trình đã xuất hiện ở tất cả các nhĩm trong pha 2 với bài tốn tìm hai số (tình huống trong tốn học và quen thuộc) và xuất hiện ở 3/6 nhĩm trong pha 3 với bài tốn trong lĩnh vực kinh tế. Như vậy, kiến thức nhắm đến (hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) đã xuất hiện ở đa số các nhĩm học sinh.
5.2. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm 5.2.1. Pha 1 5.2.1. Pha 1
Kết quả pha 1 như sau:
Bảng 3. Thống kê kết quả pha 1
Lập phương trình hai ẩn Khơng lập
biểu thức Tổng Đúng Sai
Bình trả lời được 1 0 4 5
Bình khơng trả lời được 6 4 9 19 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tổng 11 13 24
Đa số học sinh nhận ra thiếu dữ kiện nên Bình khơng trả lời được (19/24 học sinh).
(Trích bài làm của H4)
Nhiều học sinh đã biết lập phương trình hai ẩn (11/24 học sinh trong đĩ cĩ 7/11 học sinh lập đúng phương trình 2x + y = 115).
(Trích bài làm của H8)
Kết thúc pha 1, giáo viên gọi một học sinh giải thích câu trả lời của mình.
- H7: Bình khơng trả lời được câu hỏi của bạn An vì nếu gọi số thứ nhất là x số thứ hai là y thì từ giả thiết ta cĩ phương trình 2x + y = 115. Như vậy cĩ vơ số cặp số x và y thỏa mãn phương trình trên cho nên Bình khơng thể trả lời chính xác câu hỏi của bạn An. (Protocole câu 3-4)